Диаметр шара равен 2m.Через конец диаметра проведена плоскость под углом 45 градусов к нему. Найдите длину линии пересечения сферы с этой плоскостью.

Для решения задачи давайте рассмотрим сферу с центром в начале координат (O) и радиусом $r = 1$ м, так как диаметр сферы равен 2 м. Плоскость проходит через конец диаметра и наклонена под углом 45 градусов к этому диаметру. Задача состоит в том, чтобы найти длину линии пересечения этой сферы с плоскостью.

1. Математическая модель сферы
   Уравнение сферы с центром в начале координат и радиусом 1 м:

   $$x^2 + y^2 + z^2 = 1.$$

2. Плоскость
   Плоскость проходит через точку $(1, 0, 0)$, так как это конец диаметра сферы, и она наклонена под углом 45° к диаметру. Таким образом, уравнение плоскости можно записать как:

   $$x + y = 1.$$

   Это уравнение описывает плоскость, которая наклонена под углом 45 градусов к оси $x$.

3. Линия пересечения сферы и плоскости
   Чтобы найти длину линии пересечения, нужно решить систему из уравнения сферы и уравнения плоскости. Подставим уравнение плоскости $y = 1 - x$ в уравнение сферы:

   $$x^2 + (1 - x)^2 + z^2 = 1.$$

   Раскроем скобки:

   $$x^2 + (1 - 2x + x^2) + z^2 = 1,$$ $$2x^2 - 2x + 1 + z^2 = 1.$$

   Упростим:

   $$2x^2 - 2x + z^2 = 0.$$

   Перепишем это уравнение:

   $$z^2 = 2x - 2x^2.$$

4. Геометрический смысл пересечения
   Уравнение $z^2 = 2x - 2x^2$ описывает кривую на плоскости пересечения, а сама линия пересечения будет иметь вид окружности. Чтобы найти длину этой линии, рассмотрим, что при $z = 0$ (на плоскости, где пересекается сфера), у нас получается уравнение окружности. Подставим $z = 0$ в уравнение:

   $$2x - 2x^2 = 0.$$

   Вынесем за скобки:

   $$2x(1 - x) = 0.$$

   Это уравнение даёт два значения $x = 0$ и $x = 1$, которые соответствуют точкам пересечения окружности с плоскостью. Таким образом, линия пересечения — это окружность с центром в точке $(1/2, 1/2, 0)$ и радиусом $\sqrt{1/2}$.

5. Длина линии пересечения
   Длина линии пересечения будет равна диаметру этой окружности, который можно найти, удвоив радиус. Радиус окружности $\sqrt{1/2}$ означает, что длина линии пересечения равна:

   $$2 \times \sqrt{1/2} = \sqrt{2}.$$

Ответ: длина линии пересечения сферы и плоскости равна $\sqrt{2}$ метра.