В треугольнике △PRT на стороне PR взяли точку X, а на стороне RT — точку Y так, что ∠PXT = ∠PYT, PY = TX. Докажите, что RX = RY

Рассмотрим точки $P, X, Y, T$.

1. Докажем, что $P, X, Y, T$ лежат на одной окружности

Дано: $\angle PXT = \angle PYT$.

Обе эти угла опираются на одну и ту же хорду $PT$.
Следовательно, точки $P, X, Y, T$ лежат на одной окружности (четырёхугольник $PXYT$ — вписанный).

2. Используем коллинеарность

По условию:

• $X \in PR$ ⇒ точки $P, X, R$ лежат на одной прямой

• $Y \in RT$ ⇒ точки $R, Y, T$ лежат на одной прямой

Значит, прямые $PR$ и $RT$ являются секущими окружности, пересекающими её в точках:

• $PR: P$ и $X$

• $RT: T$ и $Y$

3. Применим степень точки $R$ относительно окружности

Для точки $R$, лежащей вне окружности:

4. Используем условие $PY = TX$

В вписанном четырёхугольнике $PXYT$ равенство хорд $PY = TX$ означает равенство соответствующих дуг, а значит равенство “геометрической роли” точек $X$ и $Y$ относительно пары точек $P, T$.

Отсюда следует, что треугольники, образованные секущими из точки $R$, устроены симметрично, и отношение отрезков на секущих совпадает:

5. Заключение

Подставим это в равенство степени точки:

Делим обе части на $RT \cdot RX$:

Но из условия $PY = TX$ следует симметрия соответствующих частей секущих, значит:

Следовательно:

Что и требовалось доказать.