Отрезок АВ не пересекает плоскость альфа. Через середину отрезка С и концы отрезка А и В проведеныпрямые, параллельные между собой и пересекающие плоскость альфа в точках А1, В1 и С1. Вычислить длину отрезка СС1, если АА1=5, ВВ1=7

Решение задачи:

Дано:

• Отрезок $AB$ не пересекает плоскость $\alpha$.
• Через середину отрезка $C$ и его концы $A$ и $B$ проведены прямые, параллельные между собой, которые пересекают плоскость $\alpha$ в точках $A_1$, $B_1$, $C_1$.
• Длины $AA_1 = 5$ и $BB_1 = 7$.

Найти: длину отрезка $CC_1$.

Анализ задачи:

1. Геометрические свойства: Прямые, проходящие через точки $A$, $B$ и $C$, параллельны между собой. Это означает, что они пересекают плоскость $\alpha$ под одинаковыми углами, а расстояния вдоль этих прямых от точек $A$, $B$, $C$ до плоскости $\alpha$ пропорциональны их координатам относительно середины отрезка $AB$.

2. Координатный подход: Пусть $AB$ — отрезок, лежащий на некоторой прямой, и точка $C$ — середина этого отрезка. Тогда координаты точек:

   • $A(x_1, y_1, z_1)$,
   • $B(x_2, y_2, z_2)$,
   • $C$ как середина $AB$: $$C\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}, \frac{z_1+z_2}{2}\right).$$

   Длины $AA_1$, $BB_1$ соответствуют расстояниям от точек $A$ и $B$ до их проекций на плоскость $\alpha$. Аналогично, длина $CC_1$ — это расстояние от точки $C$ до её проекции $C_1$.

3. Пропорциональность: Так как $C$ — середина отрезка $AB$, расстояние $CC_1$ будет средним арифметическим расстояний $AA_1$ и $BB_1$. Это следует из линейной зависимости расстояний вдоль параллельных прямых.

   Формула для $CC_1$:

   $$CC_1 = \frac{AA_1 + BB_1}{2}.$$

Подставим значения:

Ответ:

Длина отрезка $CC_1$ равна $\mathbf{6}$.