В прямоугольнике диагональ равна 10, а угол между ней и одной из сторон равен 30°. Найдите площадь прямоугольника, делённую на √3

Задача заключается в нахождении площади прямоугольника, делённой на √3, при этом даны диагональ и угол между диагональю и одной из сторон.

1. Обозначения и начальные данные:

   • Диагональ прямоугольника равна 10.
   • Угол между диагональю и одной из сторон равен 30°.

   Пусть стороны прямоугольника — это $a$ и $b$.

2. Используем тригонометрию: Знаем, что диагональ прямоугольника пересекает одну из его сторон под углом 30°. Пусть диагональ пересекает сторону $a$. Тогда, по определению косинуса, можно выразить сторону $a$ через диагональ $d = 10$ и угол 30°:

   $$a = d \cdot \cos(30^\circ)$$

   Косинус угла 30° равен $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, поэтому:

   $$a = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}$$

3. Используем теорему Пифагора: В прямоугольном треугольнике, образованном диагональю и двумя сторонами прямоугольника, выполняется теорема Пифагора:

   $$d^2 = a^2 + b^2$$

   Подставляем известное значение диагонали $d = 10$:

   $$10^2 = a^2 + b^2$$

   То есть:

   $$100 = a^2 + b^2$$

   Подставляем значение $a = 5\sqrt{3}$:

   $$(5\sqrt{3})^2 + b^2 = 100$$

   Получаем:

   $$75 + b^2 = 100$$

   Отсюда:

   $$b^2 = 25 \quad \Rightarrow \quad b = 5$$

4. Нахождение площади: Площадь прямоугольника равна произведению его сторон:

   $$S = a \cdot b = 5\sqrt{3} \cdot 5 = 25\sqrt{3}$$

5. Делим площадь на $\sqrt{3}$: Нужно найти площадь, делённую на $\sqrt{3}$:

   $$\frac{S}{\sqrt{3}} = \frac{25\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 25$$

Ответ: Площадь прямоугольника, делённая на $\sqrt{3}$, равна 25.