В треугольнике АВС медиана АМ перпендикулярна биссектрисе ВК. Найдите длину стороны АВ, если
АМ = ВК = 20 см. Решите без координатной системы, желательно с подробными объяснениями

Ответ: \(AB=5\sqrt{13}\) см.

Обозначим \(AB=c\), \(BC=a\). Так как \(BK\) — биссектриса угла \(B\), лучи \(BA\) и \(BC\) образуют с ней равные углы.

Пусть этот угол равен \(\alpha\). Тогда «горизонтальная» проекция отрезка \(AB\) на направление биссектрисы равна \(c\cos\alpha\), а «вертикальная» — \(c\sin\alpha\).

Так как \(AM\) — медиана, точка \(M\) — середина \(BC\). Условие \(AM\perp BK\) означает, что точки \(A\) и \(M\) находятся на одной прямой, перпендикулярной \(BK\). Поэтому их проекции на направление \(BK\) равны:

\[c\cos\alpha=\frac{a}{2}\cos\alpha\]

Значит, \(a=2c\), то есть \(BC=2AB\).

Теперь найдём длины через проекции. Из \(AM=20\):

\[AM=2c\sin\alpha=20\]

Значит,

\[c\sin\alpha=10\]

По свойству биссектрисы точка \(K\) делит сторону \(AC\) в отношении

\[AK:KC=AB:BC=c:2c=1:2\]

Из этого получается, что длина биссектрисы равна

\[BK=\frac{4}{3}c\cos\alpha\]

Так как \(BK=20\), имеем:

\[\frac{4}{3}c\cos\alpha=20\]

\[c\cos\alpha=15\]

Теперь используем прямоугольный треугольник с катетами \(c\sin\alpha\) и \(c\cos\alpha\):

\[c^2=(c\sin\alpha)^2+(c\cos\alpha)^2\]

\[c^2=10^2+15^2=100+225=325\]

\[c=\sqrt{325}=5\sqrt{13}\]

Так как \(c=AB\), получаем:

\[AB=5\sqrt{13}\text{ см}\]

0 0 Пожаловаться