Дан правильный тетраэдр ABCD с ребром √6. Найдите расстояние от вершины А до плоскости BDC.

Для того чтобы найти расстояние от вершины $A$ до плоскости $BDC$ в правильном тетраэдре с ребром длины $\sqrt{6}$, нам нужно будет воспользоваться геометрическими свойствами тетраэдра и формулами для расстояния от точки до плоскости.

1. Геометрия правильного тетраэдра: В правильном тетраэдре все его грани являются равносторонними треугольниками, а все рёбра имеют одинаковую длину. В данном случае длина рёбер тетраэдра равна $\sqrt{6}$.

2. Положение вершин тетраэдра: Мы можем расположить вершины тетраэдра в 3D-координатной системе. Пусть:

   • Вершина $A$ лежит в точке $(0, 0, \sqrt{6})$,
   • Вершины $B, C, D$ лежат в плоскости $z = 0$, соответственно на осях $x$ и $y$ с координатами:
     • $B( \sqrt{2}, 0, 0)$,
     • $C( -\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{6}}{2}, 0)$,
     • $D( -\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{6}}{2}, 0)$.

3. Уравнение плоскости $BDC$: Плоскость, проходящая через точки $B, C, D$, определяется с помощью их координат. Для этого найдем нормаль к плоскости, используя векторное произведение векторов $\overrightarrow{BC}$ и $\overrightarrow{BD}$:

   • Вектор $\overrightarrow{BC} = C - B = (-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{6}}{2}, 0) - (\sqrt{2}, 0, 0) = (-\frac{3\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{6}}{2}, 0)$,
   • Вектор $\overrightarrow{BD} = D - B = (-\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{6}}{2}, 0) - (\sqrt{2}, 0, 0) = (-\frac{3\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{6}}{2}, 0)$.

   Теперь вычислим их векторное произведение:

   $$\overrightarrow{BC} \times \overrightarrow{BD} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -\frac{3\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{6}}{2} & 0 \\ -\frac{3\sqrt{2}}{2} & -\frac{\sqrt{6}}{2} & 0 \end{vmatrix}$$