Доведіть що суміжні кути НЕ можуть бути обидва гострими

Суміжні кути за визначенням — це два кути, які мають спільну вершину, одну спільну сторону, а дві інші їхні сторони є доповняльними півпрямими. У такому випадку сума суміжних кутів завжди дорівнює $180^\circ$.

Доведемо, що суміжні кути не можуть бути обидва гострими.

1. Властивість гострого кута: Гострим кутом називається кут, величина якого менша за $90^\circ$. Отже, якщо обидва кути є гострими, їхні величини задовольняють нерівності:

   $$\alpha < 90^\circ, \, \beta < 90^\circ$$

2. Сума суміжних кутів: За визначенням суміжних кутів їхня сума дорівнює $180^\circ$. Тобто:

   $$\alpha + \beta = 180^\circ$$

3. Перевірка на можливість: Якщо обидва кути є гострими, то їхня сума:

   $$\alpha + \beta < 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$$

   Однак, це суперечить властивості суміжних кутів, за якою їхня сума дорівнює $180^\circ$. Таким чином, обидва кути не можуть бути гострими.

4. Висновок: Щонайменше один із суміжних кутів має бути тупим ($>90^\circ$) або прямим ($=90^\circ$), щоб їхня сума дорівнювала $180^\circ$.