найдите отрезки касательных AB и AC, проведенных из точки A к окружности радиуса r, если r=9 см,угол BAC=120 градусов

Для решения задачи найдем длины отрезков касательных $AB$ и $AC$, проведенных из точки $A$ к окружности радиуса $r = 9 \, \text{см}$, где угол $\angle BAC = 120^\circ$.

Шаги решения:

1. Основные свойства касательных

Если из внешней точки $A$ проведены две касательные к окружности, то:

1. Длины касательных от точки $A$ до точек касания $B$ и $C$ равны, т.е. $AB = AC$.
2. Угол между этими касательными ($\angle BAC$) задан как $120^\circ$.

Обозначим длину отрезка касательной за $x$: $AB = AC = x$.

2. Построение треугольника

Точка $A$ находится вне окружности, а касательные $AB$ и $AC$ образуют угол $\angle BAC = 120^\circ$. Окружность имеет радиус $r = 9 \, \text{см}$. Центр окружности обозначим как $O$.

В треугольнике $OAB$:

• $OA$ — расстояние от точки $A$ до центра $O$.
• $OB$ — радиус окружности ($r = 9 \, \text{см}$).
• Треугольник $OAB$ — прямоугольный, так как радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной.

3. Геометрические соотношения

Треугольник $OAB$ имеет гипотенузу $OA$, катеты $OB = r$ и $AB = x$.

С другой стороны, треугольник $OAC$ является равнобедренным ($AB = AC$), а угол между касательными $\angle BAC = 120^\circ$. Угол при центре между радиусами, проведенными в точки $B$ и $C$, равен $180^\circ - \angle BAC = 60^\circ$.

4. Расчет расстояния $OA$

Используем свойство треугольника $OAB$. Расстояние $OA$ можно найти через формулу для прямоугольного треугольника:

Кроме того, $OA$ связано с углом $\angle BAC$. В равнобедренном треугольнике с углом $\angle BAC$, $OA$ вычисляется из геометрии треугольников и выражается как:

Подставляем значения:

5. Нахождение длины касательных $AB$ и $AC$

Теперь используем теорему Пифагора для треугольника $OAB$:

Подставляем значения:

Ответ:

Длины касательных $AB$ и $AC$, проведенных из точки $A$ к окружности, равны: