В треугольнике PKM: PK = корень 61, KM = 5, PM= 4. Найдите угол M.

Для решения задачи найдем угол $M$ в треугольнике $\triangle PKM$, используя известные стороны треугольника: $PK = \sqrt{61}$, $KM = 5$, $PM = 4$. Для этого можно применить теорему косинусов, которая позволяет выразить угол через длины сторон треугольника.

Теорема косинусов

В общем виде теорема косинусов записывается как:

Подставим значения:

• $PK = \sqrt{61}$,
• $KM = 5$,
• $PM = 4$.

1. Вычислим квадрат сторон:

   $$PK^2 = (\sqrt{61})^2 = 61, \quad KM^2 = 5^2 = 25, \quad PM^2 = 4^2 = 16.$$

2. Подставим в формулу косинуса угла:

   $$\cos(\angle M) = \frac{PK^2 + KM^2 - PM^2}{2 \cdot PK \cdot KM} = \frac{61 + 25 - 16}{2 \cdot \sqrt{61} \cdot 5}.$$

3. Упростим числитель:

   $$61 + 25 - 16 = 70.$$

   Тогда:

   $$\cos(\angle M) = \frac{70}{2 \cdot \sqrt{61} \cdot 5}.$$

4. Упростим знаменатель:

   $$2 \cdot \sqrt{61} \cdot 5 = 10 \cdot \sqrt{61}.$$

   Следовательно:

   $$\cos(\angle M) = \frac{70}{10 \cdot \sqrt{61}} = \frac{7}{\sqrt{61}}.$$

5. Найдем угол $M$: Угол $M$ можно найти, взяв арккосинус:

   $$\angle M = \arccos\left(\frac{7}{\sqrt{61}}\right).$$

Это значение и является ответом.

Итог:

Угол $M$ в треугольнике $\triangle PKM$ равен $\arccos\left(\frac{7}{\sqrt{61}}\right)$.