ABCD-квадрат со стороной, равной 4 см. Треугольник АМВ имеет общую сторону АВ с квадратом, АМ=ВМ= 3см. Плоскости треугольника и квадрата взаимно перпендикулярны. Найдите угол между МС и плоскостью квадрата

Задача требует вычисления угла между отрезком МС и плоскостью квадрата ABCD, при этом есть несколько важных условий:

1. Квадрат ABCD со стороной 4 см.
2. Треугольник AMB имеет общую сторону с квадратом (АВ) и равные стороны AM и BM, каждая из которых равна 3 см.
3. Плоскости треугольника AMB и квадрата ABCD взаимно перпендикулярны.

Шаг 1: Определим координаты точек

Предположим, что квадрат лежит в плоскости XY в трехмерном пространстве, где его вершины имеют следующие координаты:

• A(0, 0, 0)
• B(4, 0, 0)
• C(4, 4, 0)
• D(0, 4, 0)

Треугольник AMB имеет сторону AB с квадратом и два равных отрезка AM и BM, каждый длиной 3 см. Так как плоскости треугольника и квадрата перпендикулярны, точка M будет находиться на прямой, перпендикулярной плоскости квадрата и проходящей через точку B. Пусть точка M лежит выше квадрата, по оси Z, так что её координаты можно записать как M(4, 0, 3).

Шаг 2: Вектор МС

Теперь найдем вектор МС. Он определяется как разность координат точки C и точки M:

• C(4, 4, 0)
• M(4, 0, 3)

Вектор МС = (4 - 4, 4 - 0, 0 - 3) = (0, 4, -3).

Шаг 3: Нормаль к плоскости квадрата

Плоскость квадрата лежит в плоскости XY, и её нормальный вектор будет направлен вдоль оси Z. То есть, нормаль к плоскости квадрата — это вектор (0, 0, 1).

Шаг 4: Находим угол между вектором МС и плоскостью

Чтобы найти угол между вектором МС и плоскостью квадрата, нам нужно использовать следующее соотношение:

$\cos \theta = \frac{|\vec{MC} \cdot \vec{n}|}{|\vec{MC}| |\vec{n}|}$

где:

• $\vec{MC} = (0, 4, -3)$ — вектор МС,
• $\vec{n} = (0, 0, 1)$ — нормаль к плоскости квадрата,
• $\theta$ — угол между вектором МС и нормалью к плоскости квадрата.

Сначала находим скалярное произведение векторов $\vec{MC}$ и $\vec{n}$:

Теперь находим длины этих векторов:

• Длина вектора МС:

• Длина вектора нормали:

Теперь можем найти $\cos \theta$:

Таким образом, угол $\theta$ между вектором МС и нормалью к плоскости квадрата равен:

Шаг 5: Угол между МС и плоскостью

Угол, который мы ищем, это угол между вектором МС и самой плоскостью квадрата. Поскольку угол между вектором и плоскостью — это дополнительный угол к углу между вектором и нормалью, то:

Таким образом, угол между вектором МС и плоскостью квадрата равен:

При вычислениях $\arccos \left( \frac{3}{5} \right) \approx 53.13^\circ$, следовательно:

Ответ: угол между отрезком МС и плоскостью квадрата составляет приблизительно 36.87°.