Через середину D гипотенузы AB прямоугольного треугольника ABC проведены прямые, параллельные его катетам. Одна из них пересекает катет AC в точке E, а другая — катет BC в точке F. Найдите гипотенузу AB, если EF = 9 см

Давайте разберем задачу шаг за шагом.

У нас есть прямоугольный треугольник ABC с прямым углом в точке C. Гипотенуза AB делится на две части прямыми, параллельными катетам AC и BC. Одна из этих прямых пересекает катет AC в точке E, а другая — катет BC в точке F. Дано, что расстояние между точками E и F, то есть отрезок EF, равно 9 см. Необходимо найти длину гипотенузы AB.

Шаг 1. Рассмотрим подобие треугольников

Так как прямые, проведенные через середину гипотенузы, параллельны катетам треугольника, они образуют два треугольника, подобных исходному. Эти треугольники будут иметь те же углы, но меньшие размеры. Таким образом, мы можем применить теорему о подобных треугольниках.

Параллельные прямые, пересекающие катеты треугольника, создают два меньших треугольника, которые подобны треугольнику ABC. Обозначим:

• длину гипотенузы AB через $c$,
• длины катетов AC и BC через $a$ и $b$ соответственно.

Шаг 2. Используем свойства подобных треугольников

Так как прямые, проведенные параллельно катетам, пересекают катеты AC и BC, то мы можем утверждать, что отрезки на катетах, от точки E до C (на катете AC) и от точки F до C (на катете BC), пропорциональны соответствующим катетам треугольника ABC.

Теперь рассмотрим, что длина отрезка EF равна 9 см, и эта длина — это часть гипотенузы, которая, как мы уже установили, пропорциональна длинам катетов. В случае подобных треугольников пропорции между соответствующими сторонами можно записать через коэффициент подобия.

Шаг 3. Рассчитываем длину гипотенузы

В случае подобных треугольников коэффициент пропорциональности можно найти через длину отрезка EF. Так как EF — это одна из сторон уменьшенного треугольника, пропорциональная гипотенузе, можно записать следующее равенство:

Это означает, что длина гипотенузы $AB$ в два раза больше длины отрезка EF.

Таким образом, если $EF = 9$ см, то:

Ответ:

Длина гипотенузы AB равна 18 см.