Радиус основания конуса равен 6, а образующая наклонена к плоскости основания под углом 30º. Найти площадь полной поверхности конуса.

Для того чтобы найти площадь полной поверхности конуса, нужно учесть две части: площадь основания и площадь боковой поверхности.

1. Площадь основания

Площадь основания конуса — это площадь круга, радиус которого равен $r = 6$.

Площадь круга рассчитывается по формуле:

Подставляем $r = 6$:

2. Площадь боковой поверхности

Площадь боковой поверхности конуса можно найти по формуле:

где $l$ — длина образующей конуса (наклонной стороны). Нам нужно найти $l$.

Из условия задачи известно, что угол наклона образующей к плоскости основания равен $30^\circ$. Это означает, что образующая образует угол $30^\circ$ с горизонтальной плоскостью. Мы можем найти длину образующей с помощью тригонометрии.

Используем связь между радиусом основания, высотой конуса и углом наклона. В прямоугольном треугольнике, образованном высотой, радиусом основания и образующей, угол наклона образующей к плоскости основания составляет $30^\circ$. Мы знаем, что радиус основания $r = 6$, и можем использовать тангенс угла наклона для нахождения высоты $h$ конуса:

Так как $\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}$, получаем:

Решаем относительно $h$:

Теперь, зная высоту $h$ и радиус $r$, можем найти длину образующей $l$ с использованием теоремы Пифагора:

Подставляем значения $r = 6$ и $h = 6\sqrt{3}$:

Теперь, когда мы нашли длину образующей $l = 12$, можем вычислить площадь боковой поверхности:

3. Площадь полной поверхности

Площадь полной поверхности конуса равна сумме площади основания и площади боковой поверхности:

Ответ: Площадь полной поверхности конуса равна $108\pi$ квадратных единиц. Если использовать приближенное значение для $\pi$, то:

Таким образом, площадь полной поверхности конуса примерно равна 339.29 квадратных единиц.