стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны 3 см и 5 см а угол между ними 60 градусов.большая диагональ параллелепипеда равна 10 . найдите боковое ребро параллелепипеда.

Для того чтобы найти боковое ребро прямоугольного параллелепипеда, воспользуемся следующим подходом:

1. Даны следующие данные:

   • Длины сторон основания прямоугольного параллелепипеда: $a = 3 \, \text{см}$ и $b = 5 \, \text{см}$.
   • Угол между этими сторонами основания: $\theta = 60^\circ$.
   • Длина диагонали параллелепипеда (от одной вершины до противоположной через все три измерения): $D = 10 \, \text{см}$.

2. Понимание задачи: Мы ищем боковое ребро параллелепипеда, то есть длину ребра, которое перпендикулярно основанию. Это ребро можно обозначить как $c$.

3. Использование формулы для диагонали параллелепипеда: Диагональ прямоугольного параллелепипеда можно вычислить по формуле:

   $$D^2 = a^2 + b^2 + c^2$$

   Однако, учитывая, что угол между сторонами основания не прямой, необходимо внести коррективы в вычисления.

4. Корректировка на угол между сторонами основания: В нашем случае, стороны основания образуют угол $\theta = 60^\circ$. Это значит, что диагональ основания не будет просто гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами $a$ и $b$. Однако, можно найти проекцию диагонали основания на плоскость основания.

   Для начала, вычислим длину диагонали основания, используя теорему Пифагора, учитывая угол между сторонами основания:

   $$d_{\text{осн}} = \sqrt{a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(\theta)}$$

   Подставляем данные:

   $$d_{\text{осн}} = \sqrt{3^2 + 5^2 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cos(60^\circ)}$$ $$d_{\text{осн}} = \sqrt{9 + 25 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \frac{1}{2}}$$ $$d_{\text{осн}} = \sqrt{9 + 25 - 15} = \sqrt{19}$$

   Таким образом, длина диагонали основания:

   $$d_{\text{осн}} \approx 4.36 \, \text{см}.$$

5. Нахождение бокового ребра $c$: Теперь, используя формулу для диагонали всего параллелепипеда, мы можем выразить боковое ребро $c$. Для этого подставим найденную длину диагонали основания в формулу для общей диагонали:

   $$D^2 = d_{\text{осн}}^2 + c^2$$ $$10^2 = (4.36)^2 + c^2$$ $$100 = 19 + c^2$$ $$c^2 = 100 - 19 = 81$$ $$c = \sqrt{81} = 9 \, \text{см}.$$

Таким образом, длина бокового ребра параллелепипеда равна 9 см.