Отрезок MN и PK- диаметр некоторой окружности.
Докажите, что прямые MP и NK параллельны.

Давайте подробно разберем доказательство утверждения, что прямые $MP$ и $NK$ параллельны, если $MN$ и $PK$ являются диаметрами одной и той же окружности.

Условие:

1. $MN$ и $PK$ — диаметры окружности.
2. Нужно доказать, что прямые $MP$ и $NK$ параллельны.

Доказательство:

1. Рассмотрим окружность и её свойства
   Пусть окружность имеет центр $O$. Диаметры $MN$ и $PK$ пересекаются в центре окружности $O$, так как оба являются диаметрами.
   Диаметр делит окружность на две равные дуги. Точки $M$, $N$, $P$, $K$ лежат на окружности.

2. Угол между радиусами
   Соединим точки $M$, $N$, $P$, $K$ с центром $O$.
   Углы между радиусами:

   • $\angle MON$ — угол, соответствующий диаметру $MN$.
   • $\angle POK$ — угол, соответствующий диаметру $PK$.

   Эти углы равны $180^\circ$, так как диаметры делят окружность пополам.

3. Четырёхугольник $MPKN$
   Соединим точки $M$, $P$, $K$, $N$, образуя четырехугольник $MPKN$.
   Этот четырехугольник является вписанным в окружность, так как все его вершины лежат на окружности.

4. Теорема о вписанных углах
   Вписанный угол, опирающийся на одну и ту же дугу, равен половине соответствующего центрального угла.
   Рассмотрим:

   • Угол $\angle MPN$ опирается на дугу $MN$. Пусть он равен $\alpha$.
   • Угол $\angle NKM$ опирается на ту же дугу $MN$. Он тоже равен $\alpha$.

   Аналогично:

   • Угол $\angle PMK$ опирается на дугу $PK$. Пусть он равен $\beta$.
   • Угол $\angle KNM$ опирается на ту же дугу $PK$. Он тоже равен $\beta$.

5. Параллельность прямых $MP$ и $NK$
   В четырёхугольнике $MPKN$:

   • $\angle MPN = \alpha$ и $\angle NKM = \alpha$.
   • Эти углы являются накрест лежащими при пересечении прямых $MP$ и $NK$ секущей $MK$.

   Если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Вывод:

Прямые $MP$ и $NK$ параллельны, так как накрест лежащие углы $\angle MPN$ и $\angle NKM$, образованные при пересечении прямых и секущей $MK$, равны. Это следует из свойств вписанных углов окружности.