В параллелограмме ABCD окружность, описанная около треугольника АBD, касается прямой СВ. Найдите площадь параллелограмма, если (угол АВС =
, ВD = 2.

Для решения задачи найдем площадь параллелограмма ABCD, опираясь на известные геометрические свойства.

Дано:

1. $\angle ABC = 90^\circ$ (это вытекает из условия, так как окружность касается стороны $CB$, а $\angle ABC$ образует прямой угол).
2. $BD = 2$ (диагональ параллелограмма).
3. Окружность, описанная около $\triangle ABD$, касается прямой $CB$.

1. Свойства параллелограмма

Параллелограмм имеет два свойства:

• Противоположные стороны параллельны и равны.
• Диагонали пересекаются и делятся пополам.

В данном случае, диагональ $BD$ равна 2, следовательно, каждая из ее половин будет равна $\frac{BD}{2} = 1$. Точка пересечения диагоналей параллелограмма — это точка их деления пополам.

2. Окружность, описанная около $\triangle ABD$

Окружность описана около треугольника $ABD$, и она касается прямой $CB$. Это условие позволяет сделать вывод, что $CB$ является касательной к окружности. А это, в свою очередь, означает, что радиус окружности, проведенный в точку касания, перпендикулярен $CB$.

Так как $\angle ABC = 90^\circ$, то $\triangle ABC$ является прямоугольным, и $AB$ и $BC$ являются катетами.

3. Найдем стороны параллелограмма

Чтобы вычислить площадь параллелограмма $S = AB \cdot BC \cdot \sin(\angle ABC)$, нам нужно найти длины $AB$ и $BC$.

Используем условие о касательной

Поскольку $CB$ является касательной к окружности, описанной около $\triangle ABD$, то длина $AB$ и радиус описанной окружности могут быть связаны соотношением через $BD$. Так как $BD = 2$ — гипотенуза $\triangle ABD$, и $\triangle ABD$ прямоугольный (по свойствам параллелограмма), можем сделать вывод, что:

Вычислим радиус описанной окружности около $\triangle ABD$ как $R = \frac{BD}{2} = 1$.

Используем свойство касательной и теорему о площади треугольника

Если треугольник описан около окружности, его площадь также может быть найдена как:

Теперь свяжем это с периметром параллелограмма.

Итоговый расчет площади

После нахождения сторон $AB$ и $AD$, можем определить, что площадь $S$ параллелограмма равна:

где $AB = 1$, $BC = 2$ (по симметрии диагоналей).

Итак, площадь параллелограмма: