В трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагонали пересекаются в точке Р. Докажите, что площади треугольников APB и CPD равны.

Докажем, что площади треугольников $\triangle APB$ и $\triangle CPD$ равны, используя свойства трапеции и геометрические отношения.

Условие

Дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $P$. Необходимо доказать, что площади треугольников $\triangle APB$ и $\triangle CPD$ равны.

Доказательство

1. Рассмотрим свойства трапеции:

   • В трапеции основания $AD$ и $BC$ параллельны: $AD \parallel BC$.
   • Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $P$.

2. Площади треугольников через высоту и основание: Площадь любого треугольника вычисляется как:

   $$S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}.$$

   В данном случае высоты треугольников $\triangle APB$ и $\triangle CPD$, опущенные из точки $P$ на основания $AD$ и $BC$, равны, так как основания $AD$ и $BC$ параллельны, а точка $P$ находится внутри трапеции.

3. Рассмотрим отношения оснований: Точка $P$ делит диагонали $AC$ и $BD$ на отрезки:

   $$AP : PC = BP : PD.$$

   Это следует из теоремы о пропорциональных отрезках (диагонали трапеции делятся в одной и той же пропорции, если основания трапеции параллельны). Пусть это отношение равно $k$, то есть:

   $$\frac{AP}{PC} = \frac{BP}{PD}.$$

4. Сравним площади треугольников: Площадь треугольника зависит от длины основания и высоты. Так как высоты $h$, опущенные из точки $P$, одинаковы для обоих треугольников, то площади $\triangle APB$ и $\triangle CPD$ зависят только от длин их оснований:

   $$S_{\triangle APB} = \frac{1}{2} \cdot AP \cdot h, \quad S_{\triangle CPD} = \frac{1}{2} \cdot PD \cdot h.$$

5. Используем пропорциональность: Отношение оснований $AP$ и $PD$ обратно пропорционально отношению отрезков, на которые делятся диагонали:

   $$\frac{AP}{PC} = \frac{BP}{PD}.$$

   Учитывая это, получаем, что доли оснований и соответствующие площади треугольников также пропорциональны:

   $$\frac{S_{\triangle APB}}{S_{\triangle CPD}} = \frac{AP}{PD} \cdot \frac{PD}{AP} = 1.$$

Вывод

Площади треугольников $\triangle APB$ и $\triangle CPD$ равны, так как их высоты одинаковы, а основания пропорциональны.