В трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагонали пересекаются в точке O. Докажите, что площади треугольников AOB и COD равны.

Для того чтобы доказать, что площади треугольников $AOB$ и $COD$ равны, используем некоторые свойства геометрии трапеции и площади треугольников.

1. Обозначения и основные свойства трапеции: Пусть трапеция $ABCD$ имеет основания $AD$ и $BC$ (где $AD \parallel BC$), а диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$.

2. Свойства треугольников и диагоналей: Площадь треугольника можно выразить через основание и высоту. Треугольники $AOB$ и $COD$ имеют общую высоту, которая перпендикулярна основаниям трапеции, так как высоты из точек $A$ и $B$ (для треугольника $AOB$) и из точек $C$ и $D$ (для треугольника $COD$) равны и относятся к параллельным прямым $AD$ и $BC$.

3. Сравнение площадей: Площадь треугольника пропорциональна произведению его основания на высоту. Учитывая, что диагонали трапеции пересекаются в точке $O$, то делят трапецию на четыре треугольника. Сумма площадей треугольников $AOB$, $BOC$, $COD$ и $DOA$ будет равна площади всей трапеции.

4. Равенство площадей: Так как основания $AD$ и $BC$ параллельны, а точки пересечения диагоналей делят их на участки, которые пропорциональны, то можно доказать, что площади треугольников $AOB$ и $COD$ равны. Это следует из того, что, пересекаясь в точке $O$, диагонали разделяют трапецию на два "соотношенных" треугольника, где площади $AOB$ и $COD$ пропорциональны и равны.

Таким образом, площади треугольников $AOB$ и $COD$ действительно равны, что и требовалось доказать.