В прямоугольной трапеции меньшая боковая сторона равно 12 см, а большая составляет с большим основанием угол 45 градусов. Найдите основания трапеции, если ее средняя линия равно 20 см.

Для решения этой задачи нам нужно использовать свойства трапеции, геометрические зависимости и уравнения.

Дано:

1. Меньшая боковая сторона трапеции: $a = 12$ см.
2. Большая боковая сторона образует угол $45^\circ$ с большим основанием.
3. Средняя линия трапеции: $m = 20$ см.

Необходимо найти:

Длины оснований $AB$ (большое основание) и $CD$ (меньшее основание).

Шаг 1: Свойство средней линии трапеции

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований:

Подставим значение средней линии:

Умножим обе части уравнения на 2:

Шаг 2: Геометрия трапеции и угол $45^\circ$

Пусть:

• $AB = x$ — длина большего основания;
• $CD = y$ — длина меньшего основания.

Заметим, что трапеция имеет прямоугольную форму, а угол между большей боковой стороной и основанием равен $45^\circ$. Это значит, что большая боковая сторона (высота $h$) равна разности проекций оснований на горизонталь:

Шаг 3: Используем свойства прямоугольного треугольника

Так как угол составляет $45^\circ$, а меньшая боковая сторона равна 12 см, то высота $h$ в прямоугольной трапеции совпадает с проекцией меньшей боковой стороны на вертикаль. Для $45^\circ$ высота равна:

Шаг 4: Подставляем высоту в уравнение разности оснований

Из уравнения (2) имеем:

Шаг 5: Решение системы уравнений

У нас теперь есть система уравнений:

1. $x + y = 40$,
2. $x - y = 6\sqrt{2}$.

Складываем эти два уравнения:

Разделим на 2:

Теперь из первого уравнения выразим $y$:

Шаг 6: Окончательный ответ

Длины оснований трапеции:

• $AB = x = 20 + 3\sqrt{2} \approx 24.24 \, \text{см}$,
• $CD = y = 20 - 3\sqrt{2} \approx 15.76 \, \text{см}.$