в параллелограмме ABCD отмечена точка М-середина отрезка ВС. отрезок АМ пересекается с диагональю BD в точке К. Докажите, что BK:BD=1:3

Для доказательства отношения $BK : BD = 1 : 3$ в параллелограмме ABCD с точкой $M$, являющейся серединой отрезка $BC$, и точкой пересечения $K$ отрезков $AM$ и $BD$, воспользуемся методами аналитической геометрии и свойствами параллелограмма.

Шаг 1. Введение координат

Расположим параллелограмм в декартовой системе координат:

• Пусть вершины $A(0, 0)$, $B(2a, 0)$, $C(2a, 2b)$, $D(0, 2b)$.

Точка $M$, середина $BC$, будет иметь координаты:

Диагональ $BD$ проходит через точки $B(2a, 0)$ и $D(0, 2b)$. Уравнение этой прямой найдем в общем виде.

Шаг 2. Уравнение диагонали $BD$

Уравнение прямой через две точки:

Для $BD$, подставляя $(x_1, y_1) = (2a, 0)$ и $(x_2, y_2) = (0, 2b)$:

Шаг 3. Уравнение отрезка $AM$

Точка $A$ имеет координаты $(0, 0)$, а $M = (2a, b)$. Уравнение прямой $AM$:

Подставляя $(x_1, y_1) = (0, 0)$ и $(x_2, y_2) = (2a, b)$:

Шаг 4. Координаты точки пересечения $K$

Найдем точку пересечения $K$ диагонали $BD$ и отрезка $AM$, решая систему уравнений:

1. $y = -\frac{b}{a}x + 2b$ (для $BD$),
2. $y = \frac{b}{2a}x$ (для $AM$).

Приравниваем:

Переносим все члены, содержащие $x$, в одну сторону:

Приводим к общему знаменателю:

Умножаем на $-\frac{2a}{3b}$