1) Задача
Даны векторы а{4;1;-2} и b{3;m;2}. Определить значение m, при которых угол между а и b является: а)Острым б)прямым в)Тупым .

2) Задача
Даны векторы а {-2;3;1} и b {1;4;-3}. Определить При каких значениях k, угол между векторами a+k*b и b будет: а)острый б) Прямой в) Тупой.

3) Задача
Вершины треугольника ABC имеют координаты A(m;-3;2) B(9;-1;3) C(12;-5;-1). Определить значения m, при которых угол C – Тупой.

1) Задача 1

Даны векторы $\mathbf{a} = \{4;1;-2\}$ и $\mathbf{b} = \{3; m; 2\}$. Определить значения $m$, при которых угол между $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$ является:

• а) острым,
• б) прямым,
• в) тупым.

Решение:

Угол между векторами $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$ определяется с помощью скалярного произведения:

где

Если:

• угол острый ($\cos \theta > 0$), то $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} > 0$,
• угол прямой ($\cos \theta = 0$), то $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0$,
• угол тупой ($\cos \theta < 0$), то $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} < 0$.

1. Скалярное произведение:

2. Рассмотрим случаи:

• а) Угол острый ($\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} > 0$):

• б) Угол прямой ($\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0$):

• в) Угол тупой ($\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} < 0$):

Ответ:

• а) $m > -8$,
• б) $m = -8$,
• в) $m < -8$.

2) Задача 2

Даны векторы $\mathbf{a} = \{-2; 3; 1\}$ и $\mathbf{b} = \{1; 4; -3\}$. Определить значения $k$, при которых угол между $\mathbf{a} + k\mathbf{b}$ и $\mathbf{b}$ является:

• а) острым,
• б) прямым,
• в) тупым.

Решение:

Пусть $\mathbf{c} = \mathbf{a} + k\mathbf{b}$. Тогда $\mathbf{c} = \{-2 + k; 3 + 4k; 1 - 3k\}$.

1. Скалярное произведение:

где:

Подставим $\mathbf{b} = \{1; 4; -3\}$:

Раскроем скобки:

2. Рассмотрим случаи:

• а) Угол острый ($\mathbf{c} \cdot \mathbf{b} > 0$):

• б) Угол прямой ($\mathbf{c} \cdot \mathbf{b} = 0$