В равнобедренном треугольнике
МНК основание - МК.
МК=10 см., МН=НК=20см. На
стороне НК лежит точка А так,
что АК/АН=1/3.
Найдите АМ.

Рассмотрим задачу на применение теоремы косинусов и деление отрезков.

Дано:

• Треугольник $\triangle MNK$, равнобедренный, основание $MK = 10$ см.
• Боковые стороны $MN = NK = 20$ см.
• Точка $A$ лежит на стороне $NK$, причём $\frac{AK}{AN} = \frac{1}{3}$.
• Требуется найти длину $AM$.

Решение:

1. Определяем координаты точек:

Пусть $M = (0, 0)$, $K = (10, 0)$, а $N$ — вершина треугольника. Для нахождения координат $N$, используем свойства равнобедренного треугольника:

• Высота, проведённая из вершины $N$ на основание $MK$, делит его пополам. Тогда $x$-координата $N$ равна $5$ (середина $MK$).
• Обозначим $y$-координату $N$ как $h$. Из условия $MN = 20$, получаем: $$MN^2 = (x_N - x_M)^2 + (y_N - y_M)^2.$$ Подставляя координаты $M = (0, 0)$ и $N = (5, h)$, получаем: $$20^2 = 5^2 + h^2 \quad \Rightarrow \quad 400 = 25 + h^2 \quad \Rightarrow \quad h^2 = 375 \quad \Rightarrow \quad h = \sqrt{375} = 5\sqrt{15}.$$ Таким образом, координаты $N$: $(5, 5\sqrt{15})$.

2. Определяем координаты точки $A$:

Точка $A$ делит отрезок $NK$ в отношении $1:3$. Воспользуемся формулой деления отрезка в данном отношении:

Итак, $A \left( \frac{25}{4}, \frac{15\sqrt{15}}{4} \right)$.

3. Находим длину $AM$:

Длина отрезка $AM$ определяется как расстояние между точками $M$ и $A$. Используем формулу расстояния между двумя точками:

Подставляем координаты $M(0, 0)$ и $A$