В равнобедренном треугольнике MNK с основанием MK,равным 10 см , MN=NK=20 см. На стороне NK лежит точка A так что AK относиться к AN как 1 к 3.Найти AM.

Для решения задачи рассмотрим равнобедренный треугольник $MNK$, в котором основание $MK = 10$ см, а боковые стороны $MN = NK = 20$ см. На стороне $NK$ лежит точка $A$ так, что $AK$ относится к $AN$ как 1 к 3, то есть:

Обозначим длину отрезка $AK = x$, тогда отрезок $AN = 3x$. Поскольку $AK + AN = NK = 20$, получаем уравнение:

Решив это уравнение, находим:

Таким образом, $AK = 5$ см и $AN = 15$ см.

Теперь нужно найти длину отрезка $AM$. Для этого воспользуемся теоремой косинусов в треугольниках $AMK$ и $AMN$, но сначала определим углы треугольника $MNK$.

Так как треугольник равнобедренный, углы при основании $MK$ равны. Обозначим угол $MKN = \alpha$. Найдем его через косинус по формуле:

Теперь найдем $AM$. В треугольнике $AMK$ известны стороны $MK = 10$, $AK = 5$ и угол $\alpha$. Применим теорему косинусов для треугольника $AMK$:

Подставляем известные значения:

Выполним вычисления:

Следовательно:

Таким образом, длина отрезка $AM$ равна 10 см.