Найти боковые стороны равнобедренной трапеции, основания которой равны 16 см и 28 см, если один из углов 120 градусов

Чтобы найти боковые стороны равнобедренной трапеции с основаниями $a = 28$ см и $b = 16$ см, где один из углов при большем основании равен $120^\circ$, воспользуемся следующими рассуждениями и вычислениями.

Дано:

1. $a = 28$ см (большее основание),
2. $b = 16$ см (меньшее основание),
3. $\alpha = 120^\circ$ (угол при большем основании),
4. Трапеция равнобедренная.

Задача:

Найти боковые стороны $c$.

Решение:

1. Обозначим и упростим трапецию: Равнобедренная трапеция обладает симметрией, следовательно, высоты, проведённые из концов меньшего основания ($b$) к большему основанию ($a$), равны. Пусть эта высота $h$, а половина разности оснований (находящаяся у каждого основания $a$) будет равна $x = \frac{a - b}{2} = \frac{28 - 16}{2} = 6$ см.

2. Запишем треугольник: Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой $h$, половиной разности оснований ($x = 6$), и боковой стороной $c$, где:

   $$\tan \alpha = \frac{h}{x}.$$

   Так как угол $\alpha = 120^\circ$, то острый угол при основании равен $60^\circ$ (так как трапеция симметричная).

3. Найдем высоту $h$: Подставляем в формулу тангенса:

   $$\tan 60^\circ = \sqrt{3}, \quad \text{значит,} \quad h = x \cdot \tan 60^\circ = 6 \cdot \sqrt{3} = 6\sqrt{3}.$$

4. Используем теорему Пифагора: Рассматриваем прямоугольный треугольник, где гипотенуза — боковая сторона $c$, катеты — $h$ и $x$:

   $$c^2 = h^2 + x^2.$$

   Подставляем значения:

   $$c^2 = (6\sqrt{3})^2 + 6^2 = 108 + 36 = 144.$$ $$c = \sqrt{144} = 12 \, \text{см}.$$

Ответ:

Боковые стороны трапеции равны 12 см.