Найти боковые стороны равнобедренной трапеции, основания которой равны 16 см и 10 см, если один из углов 120°

Для решения задачи найдем боковые стороны равнобедренной трапеции, основываясь на известных данных: основания $AB = 16 \, \text{см}$ (большое основание), $CD = 10 \, \text{см}$ (малое основание), а угол при основании $\angle A = \angle D = 120^\circ$. Пусть боковые стороны $AD = BC = x$.

План решения:

1. Изобразим трапецию и разобьем её на составляющие:
   Проведем высоты $AH$ и $CK$ из вершин $A$ и $C$ соответственно на основание $AB$.
   Эти высоты разобьют трапецию на два прямоугольных треугольника ($AHD$ и $CKD$) и прямоугольник ($HKCD$). Расстояние между высотами ($HK$) — это разность оснований:

   $$HK = AB - CD = 16 - 10 = 6 \, \text{см}.$$

2. Высоты $AH$ и $CK$:
   В треугольнике $AHD$ угол $\angle AHD = 120^\circ$. Чтобы найти высоту $AH$, применим тригонометрические функции:

   $$AH = x \cdot \sin 120^\circ, \quad \text{где } \sin 120^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}.$$

   Значит,

   $$AH = x \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}.$$

3. Отрезок $DH$:
   Из треугольника $AHD$ найдем проекцию боковой стороны $AD$ на основание $AB$:

   $$DH = x \cdot \cos 120^\circ, \quad \text{где } \cos 120^\circ = -\frac{1}{2}.$$

   Значит,

   $$DH = x \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{x}{2}.$$

   Но длина отрезка $HD$ — это положительное число, поэтому $HD = \frac{x}{2}$.

4. Суммирование частей основания:
   Учитывая, что $HK = 6 \, \text{см}$, мы можем записать:

   $$DH + HK + CK = AB.$$

   Так как $DH = CK = \frac{x}{2}$, подставляем:

   $$\frac{x}{2} + 6 + \frac{x}{2} = 16.$$

   Объединим подобные:

   $$x + 6 = 16.$$

   Решаем уравнение:

   $$x = 16 - 6 = 10 \, \text{см}.$$

Ответ:

Боковые стороны трапеции равны $10 \, \text{см}$.