Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O, отрезки AB и AO пропорциональны отрезкам AD и AC. Найдите CD, если BC = 8 см.

Решение задачи

Давайте разберём задачу шаг за шагом.

Дано:

• ABCD — параллелограмм.
• Диагонали AC и BD пересекаются в точке $O$.
• Отрезки $AB$ и $AO$ пропорциональны отрезкам $AD$ и $AC$: $$\frac{AB}{AD} = \frac{AO}{AC}.$$
• $BC = 8 \, \text{см}$.
• Нужно найти $CD$.

Свойства параллелограмма:

1. В параллелограмме противоположные стороны равны:
   $AB = CD$ и $BC = AD$.
2. Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам:
   $AO = OC$ и $BO = OD$.

Решение:

1. Обозначим стороны параллелограмма:

   • Пусть $AB = CD = x$,
   • $BC = AD = 8 \, \text{см}$.

2. Используем пропорцию:

   $$\frac{AB}{AD} = \frac{AO}{AC}.$$

   Подставим известные значения:

   $$\frac{x}{8} = \frac{AO}{AC}.$$

3. Рассмотрим диагональ AC: Диагонали параллелограмма делятся пополам, поэтому:

   $$AO = OC = \frac{AC}{2}.$$

   Подставим это в пропорцию:

   $$\frac{x}{8} = \frac{\frac{AC}{2}}{AC}.$$

4. Упростим выражение: Упростим правую часть пропорции:

   $$\frac{\frac{AC}{2}}{AC} = \frac{1}{2}.$$

   Таким образом:

   $$\frac{x}{8} = \frac{1}{2}.$$

5. Решим уравнение для $x$: Умножим обе части на 8:

   $$x = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4.$$

Ответ:

Сторона $CD = AB = 4 \, \text{см}$.