В трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагонали пересекаются в точке О. Докажите, что площади треугольников AOB и COD равны

Рассмотрим трапецию $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, где диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. Докажем, что площади треугольников $AOB$ и $COD$ равны.

Шаг 1: Свойства трапеции и теорема о пропорциональных отрезках

Диагонали трапеции делятся точкой пересечения $O$ в одном и том же отношении. Это свойство обусловлено параллельностью оснований $AD$ и $BC$. Пусть $k$ — коэффициент отношения, тогда выполняются равенства:

Шаг 2: Формула площади треугольника

Площадь треугольника вычисляется по формуле:

В треугольниках $AOB$ и $COD$ высоты, проведенные из вершин $A$ и $C$, перпендикулярны одной и той же прямой $BC$, которая является общей для этих треугольников. Таким образом, высоты этих треугольников равны.

Шаг 3: Основания треугольников и отношение диагоналей

В треугольнике $AOB$ основание — это отрезок $BO$, а в треугольнике $COD$ основание — это отрезок $DO$. Согласно свойству пропорциональности диагоналей, выполняется равенство:

Отсюда следует, что длины оснований $BO$ и $DO$ пропорциональны так же, как и отрезки $AO$ и $OC$.

Шаг 4: Вывод

Так как высоты треугольников $AOB$ и $COD$ равны, а их основания $BO$ и $DO$ находятся в одинаковом отношении, можно заключить, что площади треугольников $AOB$ и $COD$ равны:

Таким образом, доказательство завершено. Площади треугольников равны в силу равенства высот и пропорциональности оснований, заданной свойствами трапеции.