В прямоугольнике ABCD известны стороны AB=8 и AD=68. Диагонали пересекаются в точке O. Найдите длину суммы векторов AO и BO

Для решения задачи начнем с того, что будем рассматривать прямоугольник ABCD и его диагонали, которые пересекаются в точке O. Необходимо найти длину суммы векторов AO и BO.

1. Исходные данные:

   • Длины сторон прямоугольника: AB = 8 и AD = 68.
   • Диагонали пересекаются в точке O.

2. Свойства диагоналей прямоугольника: В прямоугольнике диагонали равны по длине и пересекаются в точке O, деля каждую диагональ пополам. Это значит, что точка O является серединой как диагонали AC, так и диагонали BD.

3. Векторная запись: Пусть точки прямоугольника имеют следующие координаты:

   • A(0, 0) — начало координат,
   • B(8, 0) — точка на оси X,
   • D(0, 68) — точка на оси Y,
   • C(8, 68) — точка прямоугольника, противоположная точке A.

   Диагонали прямоугольника AC и BD пересекаются в точке O, которая является серединой этих диагоналей. Позиционные векторы точек A, B, C и D:

   • Вектор AB: $\vec{AB} = (8, 0)$,
   • Вектор AD: $\vec{AD} = (0, 68)$.

   Точки C и D можно выразить через координаты точек A и B:

   • $C = B + \vec{AD} = (8, 0) + (0, 68) = (8, 68)$.

4. Положение точки O: Точка O — середина каждой диагонали. Так как диагональ AC соединяет точки A и C, её середина будет иметь координаты:

   • $O = \frac{A + C}{2} = \frac{(0, 0) + (8, 68)}{2} = (4, 34)$.

   Точка O также является серединой диагонали BD, которая соединяет точки B и D. Проверим:

   • $O = \frac{B + D}{2} = \frac{(8, 0) + (0, 68)}{2} = (4, 34)$.

5. Векторы AO и BO: Теперь, зная координаты точки O, можем найти векторы AO и BO:

   • $\vec{AO} = O - A = (4, 34) - (0, 0) = (4, 34)$,
   • $\vec{BO} = O - B = (4, 34) - (8, 0) = (-4, 34)$.

6. Сумма векторов AO и BO: Сложим векторы $\vec{AO}$ и $\vec{BO}$:

   $$\vec{AO} + \vec{BO} = (4, 34) + (-4, 34) = (0, 68).$$

7. Длина суммы векторов: Длина вектора $\vec{AO} + \vec{BO}$ равна длине вектора (0, 68), что равно:

   $$\| (0, 68) \| = \sqrt{0^2 + 68^2} = \sqrt{4624} = 68.$$

Ответ: Длина суммы векторов $\vec{AO}$ и $\vec{BO}$ равна 68.