Дана равнобедренная трапеция ABCD. Точка M лежит на основании AD и равноудалена от концов другого основания. Докажите, что точка M середина основания AD.
Заранее спасибо.

Задача касается геометрии равнобедренной трапеции. Нужно доказать, что точка $M$, лежащая на основании $AD$ трапеции и равноудаленная от концов основания $BC$, является серединой основания $AD$.

Шаг 1: Обозначения и предположения

Пусть у нас есть равнобедренная трапеция $ABCD$, где $AB$ и $CD$ — основания, а $AD = BC$ — боковые стороны. Точка $M$ лежит на основании $AD$ и равноудалена от концов основания $BC$, то есть расстояния от точки $M$ до точек $B$ и C \ равны. Нужно доказать, что \( M является серединой основания $AD$.

Шаг 2: Сравнение расстояний от $M$ до $B$ и $C$

Пусть координаты точек трапеции:

• $A(x_1, y_1)$,
• $B(x_2, y_2)$,
• $C(x_3, y_3)$,
• $D(x_4, y_4)$.

Точка $M$ на основании $AD$ будет иметь координаты $M(x_M, y_M)$, где $x_M$ и $y_M$ — координаты этой точки. Согласно условию задачи, точка $M$ равноудалена от точек $B$ и $C$, значит выполняется равенство расстояний:

Для того чтобы записать эти расстояния, используем формулу для расстояния между двумя точками в координатной плоскости:

Условие, что $M$ равноудалена от $B$ и $C$, приводит к уравнению:

Шаг 3: Упрощение уравнения

Раскроем обе части уравнения:

Теперь упростим это уравнение, сократив одинаковые члены $x_M^2$