Площадь ромба равна 24 см2,а длины его диагоналей относятся как 3:4.Найдите длину стороны ромба.

Чтобы найти длину стороны ромба, нужно использовать несколько важных формул и сведений:

1. Площадь ромба можно выразить через его диагонали $d_1$ и $d_2$ по формуле:

   $$S = \frac{1}{2} \cdot d_1 \cdot d_2$$

   где $S$ — площадь ромба, $d_1$ и $d_2$ — длины диагоналей.

2. В задаче дана площадь ромба $S = 24 \, \text{см}^2$, и сказано, что длины диагоналей относятся как 3:4. Пусть длины диагоналей можно выразить как:

   $$d_1 = 3x, \quad d_2 = 4x$$

   где $x$ — некоторая переменная, которая нам предстоит найти.

3. Подставляем выражения для $d_1$ и $d_2$ в формулу для площади:

   $$24 = \frac{1}{2} \cdot (3x) \cdot (4x)$$

   Упростим:

   $$24 = \frac{1}{2} \cdot 12x^2$$ $$24 = 6x^2$$

   Теперь решаем для $x^2$:

   $$x^2 = \frac{24}{6} = 4$$ $$x = 2$$

4. Теперь, зная $x = 2$, можем найти длины диагоналей:

   $$d_1 = 3x = 3 \cdot 2 = 6 \, \text{см}, \quad d_2 = 4x = 4 \cdot 2 = 8 \, \text{см}$$

5. Чтобы найти длину стороны ромба $a$, используем теорему Пифагора. Диагонали ромба перпендикулярны и делят его на 4 равных прямоугольных треугольника. Половины диагоналей будут катетами этих треугольников. Половины диагоналей:

   $$\frac{d_1}{2} = \frac{6}{2} = 3 \, \text{см}, \quad \frac{d_2}{2} = \frac{8}{2} = 4 \, \text{см}$$

6. По теореме Пифагора для одного из этих прямоугольных треугольников, гипотенуза которого является сторона ромба $a$, имеем:

   $$a^2 = 3^2 + 4^2$$ $$a^2 = 9 + 16 = 25$$ $$a = \sqrt{25} = 5 \, \text{см}$$

Таким образом, длина стороны ромба равна 5 см.