Периметр ромба равен 164, а разность длин его диагоналей равна 62. Найдите длину большей из

Ответы на вопрос

Отвечает Кобызький Михаил.

Для решения задачи воспользуемся следующими свойствами ромба:

У ромба все стороны равны, то есть $a$ — длина стороны ромба.
Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся точкой пересечения пополам.
Если обозначить диагонали ромба через $d_1$ и $d_2$ , то можно выразить сторону ромба через них: $a = \sqrt{\left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2}$ .

Периметр ромба равен $P = 4a$ . По условию $P = 164$ , следовательно:

4a = 164 \implies a = \frac{164}{4} = 41.

По условию разность диагоналей равна 62:

d_1 - d_2 = 62.

Обозначим меньшую диагональ как $d_2$ , тогда большая диагональ будет равна $d_1 = d_2 + 62$ .

Сторона ромба $a$ выражается через диагонали как:

a = \sqrt{\left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2}.

Подставим значение $a = 41$ и выражения для $d_1$ и $d_2$ :

41 = \sqrt{\left(\frac{d_2 + 62}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2}.

Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}$ из квадратов:

41 = \sqrt{\frac{(d_2 + 62)^2}{4} + \frac{d_2^2}{4}}.

Объединим дроби:

41 = \sqrt{\frac{(d_2 + 62)^2 + d_2^2}{4}}.

Умножим обе части на 2 и возведём в квадрат, чтобы убрать корень:

82^2 = (d_2 + 62)^2 + d_2^2.

Посчитаем $82^2$ :

82^2 = 6724.

Теперь уравнение принимает вид:

6724 = (d_2 + 62)^2 + d_2^2.

Раскроем $(d_2 + 62)^2$ :

6724 = d_2^2 + 124d_2 + 3844 + d_2^2.

Объединим подобные слагаемые:

6724 = 2d_2^2 + 124d_2 + 3844.

Периметр ромба равен 164, а разность длин его диагоналей равна 62. Найдите длину большей из диагоналей этого ромба.