Центральный угол AOB, равный 60, опирается на хорду АВ длиной 4. Найдите радиус окружности.

Чтобы найти радиус окружности, на которой центральный угол $AOB$ равен $60^\circ$, а хорда $AB$ имеет длину 4, воспользуемся геометрическими и тригонометрическими свойствами.

Дано:

• Центральный угол $AOB = 60^\circ$,
• Хорда $AB = 4$,
• Радиус окружности $R$ — нужно найти.

Решение:

1. Рассмотрим треугольник $OAB$: Треугольник $OAB$ является равнобедренным, так как $OA = OB = R$ (радиусы окружности). Угол при вершине $O$ равен $60^\circ$.

   Таким образом, треугольник $OAB$ — равносторонний, ведь все углы равны $60^\circ$.

2. Вычислим расстояние от центра $O$ до хорды $AB$: Расстояние от центра окружности до хорды — это перпендикуляр $OM$, проведенный из точки $O$ к хорде $AB$. Точка $M$ — середина хорды $AB$, так как перпендикуляр из центра окружности делит хорду пополам.

   Длина половины хорды:

   $$AM = \frac{AB}{2} = \frac{4}{2} = 2.$$

3. Рассмотрим прямоугольный треугольник $OMA$: В треугольнике $OMA$:

   • $OM$ — высота из центра окружности,
   • $OA = R$ (радиус окружности),
   • $AM = 2$ (половина хорды).

   По теореме Пифагора:

   $$OA^2 = OM^2 + AM^2.$$

   Подставляем известные величины:

   $$R^2 = OM^2 + 2^2.$$ $$R^2 = OM^2 + 4.$$

4. Связь между углом $60^\circ$ и высотой $OM$: В треугольнике $OMA$, угол $\angle AOM = 30^\circ$ (половина центрального угла $60^\circ$). По определению синуса:

   $$\sin(30^\circ) = \frac{AM}{OA}.$$

   Подставляем значения:

   $$\frac{1}{2} = \frac{2}{R}.$$

   Умножаем обе части на $R$:

   $$R = 4.$$

Ответ:

Радиус окружности равен $4$.