Какие два вектора называются равными?

Два вектора называются равными, если они обладают одинаковой длиной и направлением. Это означает, что равные векторы параллельны, их модули (длины) совпадают, и они направлены в одну и ту же сторону.

Основные критерии равенства векторов:

1. Длина (модуль): Длины двух векторов должны быть одинаковыми. Например, если вектор $\vec{A}$ имеет длину $|\vec{A}| = 5$, то равный ему вектор $\vec{B}$ также должен иметь длину $|\vec{B}| = 5$.

2. Направление: Направления векторов должны быть одинаковыми, то есть углы между векторами и базовой осью (или другим фиксированным ориентиром) совпадают. Другими словами, равные векторы указывают в одну и ту же сторону.

3. Свободные векторы: Векторы в математике часто рассматриваются как свободные, то есть не привязанные к конкретной точке начала. В таком случае для равенства важно лишь совпадение длины и направления, а их начальные и конечные точки могут быть различными.

Условие равенства в координатах

Если два вектора заданы в декартовой системе координат, например:

• $\vec{A} = (x_1, y_1, z_1)$,
• $\vec{B} = (x_2, y_2, z_2)$,

то они равны, если выполняется равенство всех их соответствующих координат: $x_1 = x_2, \; y_1 = y_2, \; z_1 = z_2.$

Примеры:

1. Вектора $\vec{A} = (3, 4)$ и $\vec{B} = (3, 4)$ равны, так как их координаты совпадают.
2. Если векторы $\vec{C}$ и $\vec{D}$ равны, то они могут быть изображены как одинаковые стрелки, направленные в одну сторону и имеющие одинаковую длину, независимо от их положения в пространстве.

Равенство векторов используется в геометрии, физике и других областях для сравнения различных направленных величин, таких как силы, скорости и перемещения.