1.На рисунке 280 точка О центр окружности угод ABO=40 градусам. Найдите угол BOC
2.К окружности с центром О провели касательную CD(D точка касания). Найдите радиус окружности, если CO=16 см и угол COD=60градусов

Задача 1. Найти угол $\angle BOC$ в окружности.

Условие:

• Точка $O$ — центр окружности.
• Угол $\angle ABO = 40^\circ$.

Решение:

1. Рассмотрим треугольник $ABO$. Поскольку $O$ — центр окружности, то отрезки $OA$ и $OB$ являются радиусами. Следовательно, треугольник $ABO$ равнобедренный.
2. Угол $\angle ABO = 40^\circ$, а угол $\angle BAO$ тоже равен $40^\circ$ (так как углы при основании равнобедренного треугольника равны).
3. Найдём угол $\angle AOB$, используя сумму углов треугольника: $$\angle AOB = 180^\circ - \angle ABO - \angle BAO = 180^\circ - 40^\circ - 40^\circ = 100^\circ.$$
4. Угол $\angle AOB$ является центральным углом, который опирается на дугу $AB$. Центральный угол $\angle BOC$ опирается на оставшуюся часть окружности, дополняющую дугу $AB$ до полного круга. Таким образом: $$\angle BOC = 360^\circ - \angle AOB = 360^\circ - 100^\circ = 260^\circ.$$

Ответ: $\angle BOC = 260^\circ.$

Задача 2. Найти радиус окружности.

Условие:

• К окружности с центром $O$ проведена касательная $CD$, где $D$ — точка касания.
• Отрезок $CO = 16$ см.
• Угол $\angle COD = 60^\circ$.

Решение:

1. Поскольку $CD$ — касательная, а $OD$ — радиус, проведённый в точку касания, то $\angle ODC = 90^\circ$.
2. Рассмотрим треугольник $COD$. Это прямоугольный треугольник, где:
   • $CO = 16$ см — гипотенуза,
   • $\angle COD = 60^\circ$,
   • $OD$ — радиус окружности, который нужно найти.
3. В прямоугольном треугольнике со сторонами, связанными углом $60^\circ$, радиус $OD$ является прилежащим катетом. Используем соотношение косинуса: $$\cos(60^\circ) = \frac{OD}{CO}.$$
4. Подставляем значения: $$\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}, \quad CO = 16.$$ Тогда: $$\frac{1}{2} = \frac{OD}{16}.$$
5. Умножаем обе части на 16: $$OD = 16 \cdot \frac{1}{2} = 8 \, \text{см}.$$

Ответ: радиус окружности $OD = 8 \, \text{см}.$