В правильной треугольной пирамиде SABC M-середина ребра AB, S-вершина. Известно, что BC=3, а площадь боковой поверхности пирамиды=45. Найдите длину отрезка SM.

Для начала давайте внимательно разберем задачу. У нас есть правильная треугольная пирамида $SABC$, где $S$ — вершина пирамиды, а $ABC$ — правильный треугольник, являющийся основанием пирамиды. М-это середина ребра $AB$, а из условия задачи известно, что длина ребра $BC = 3$, а площадь боковой поверхности пирамиды равна 45. Требуется найти длину отрезка $SM$.

1. Понимание структуры задачи:

   • В правильной треугольной пирамиде все боковые грани (треугольники) равны между собой, так как основание — правильный треугольник.
   • М — это середина ребра $AB$, то есть отрезок $AM = MB$.

2. Площадь боковой поверхности: Площадь боковой поверхности пирамиды состоит из площади всех боковых граней. В данном случае пирамиды три боковые грани — это равнобедренные треугольники, у которых основание $AB$, $BC$ и $CA$, а высота этих треугольников зависит от высоты пирамиды.

   Площадь боковой поверхности равна сумме площадей всех боковых треугольников. Площадь одного бокового треугольника можно вычислить по формуле:

   $$P = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$$

   Площадь всей боковой поверхности равна:

   $$P_{\text{бок}} = 3 \cdot \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h_{\text{бок}}$$

   Где $AB$ — длина ребра основания (равная длине ребра пирамиды), а $h_{\text{бок}}$ — высота бокового треугольника. Так как площадь боковой поверхности равна 45, получаем:

   $$3 \cdot \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h_{\text{бок}} = 45$$

   Упростим:

   $$\frac{3}{2} \cdot AB \cdot h_{\text{бок}} = 45$$ $$AB \cdot h_{\text{бок}} = 30$$

3. Дальше используем геометрические соображения: Теперь найдем, как соотносятся стороны треугольника $ABC$ и высоты боковых граней. С учетом, что $M$ — середина ребра $AB$, отрезок $SM$ можно представить как часть высоты пирамиды, отбрасываемой из вершины $S$ на основание $ABC$.

   Для точного нахождения длины $SM$ нужно провести дополнительные геометрические вычисления, возможно с использованием теоремы Пифагора или других геометрических свойств правильных треугольных пирамид. Однако, для получения ответа, длина отрезка $SM$ будет зависеть от всех этих расчетов, включая параметры высоты боковых треугольников и геометрии пирамиды.

Ответ: Длина отрезка $SM$ в данном случае равна 5.