ABCD - тетраэдр
DC = 8 см
CB = 6 см
AD перпендикулярна (ABC)
Угол DCB = 90 градусов
Угол DBA = 45 градусов
Найти: AD

Давайте пошагово разберемся, как найти длину отрезка $AD$, используя данные из задачи.

1. Что нам дано:

   • Тетраэдр ABCD.
   • $DC = 8 \, \text{см}$.
   • $CB = 6 \, \text{см}$.
   • Отрезок $AD$ перпендикулярен плоскости $ABC$.
   • Угол $\angle DCB = 90^\circ$.
   • Угол $\angle DBA = 45^\circ$.

2. Перпендикулярность и угол в 90 градусов: Так как $AD$ перпендикулярен плоскости $ABC$, это означает, что точка $A$ находится на прямой, которая перпендикулярна к плоскости треугольника $ABC$, а точка $D$ лежит на этой прямой. Также угол $\angle DCB = 90^\circ$ говорит о том, что отрезок $DC$ перпендикулярен отрезку $CB$.

3. Использование прямоугольного треугольника: Так как угол между $DC$ и $CB$ равен 90 градусов, треугольник $DCB$ является прямоугольным. Это позволяет нам использовать теорему Пифагора для вычисления длины гипотенузы $DB$.

   В прямоугольном треугольнике $DCB$ по теореме Пифагора:

   $$DB^2 = DC^2 + CB^2$$

   Подставляем значения:

   $$DB^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100$$ $$DB = \sqrt{100} = 10 \, \text{см}.$$

   То есть длина отрезка $DB$ равна 10 см.

4. Использование угла $\angle DBA = 45^\circ$: Теперь, зная, что угол $\angle DBA = 45^\circ$, мы можем использовать свойства треугольника $ADB$, в котором угол при вершине $B$ равен 45 градусов.

   В прямоугольном треугольнике $ADB$ угол $\angle DBA = 45^\circ$, а значит, треугольник является равнобедренным, где $AD = DB$.

5. Ответ: Поскольку $DB = 10 \, \text{см}$, то и $AD = 10 \, \text{см}$.

Таким образом, длина отрезка $AD$ равна 10 см.