На отрезке AB отметили точки M и K. Известно, что AM : BM = 2 : 7, а точка K — середина AB. Найдите длину отрезка AB, если MK = 10 см. решите пж 30 б​

Давайте разберём задачу поэтапно.

1. Анализ условия:

   • Нам дан отрезок $AB$ и точки $M$ и $K$ на нём.
   • $AM : BM = 2 : 7$ означает, что отрезок $AM$ в 2 раза меньше, чем $BM$.
   • Точка $K$ является серединой отрезка $AB$, что делит $AB$ на два равных отрезка $AK$ и $KB$.
   • Известно, что $MK = 10$ см.

2. Решение:

   • Так как $K$ - середина $AB$, то $AK = KB$.
   • Обозначим длину отрезка $AB$ как $x$ см. Тогда $AK = KB = \frac{x}{2}$.
   • Так как $AM : BM = 2 : 7$, то $AM = \frac{2}{9}x$, а $BM = \frac{7}{9}x$.
   • $M$ лежит между $A$ и $B$, значит $AM + MB = AB$. Подставляем наши значения: $\frac{2}{9}x + \frac{7}{9}x = x$, что соответствует определению.
   • Теперь найдём $MK$. Так как $K$ - середина $AB$, $MK = KB - BM$. Подставляем значения: $MK = \frac{x}{2} - \frac{7}{9}x$.
   • Нам известно, что $MK = 10$ см, значит $\frac{x}{2} - \frac{7}{9}x = 10$.

3. Находим $x$:

   • Решаем уравнение: $\frac{x}{2} - \frac{7}{9}x = 10$.
   • Приводим к общему знаменателю: $\frac{9x - 14x}{18} = 10$.
   • Упрощаем: $-5x = 180$.
   • Находим $x$: $x = -36$ см.

4. Вывод:

   • Полученный результат $x = -36$ см кажется нелогичным, поскольку длина отрезка не может быть отрицательной. Ошибка возникла из-за того, что мы неверно определили отношения между отрезками. На самом деле, если $K$ - середина $AB$, то $MK = MB$, а не $KB - BM$. Это изменит наше уравнение на $\frac{7}{9}x = 10$, и решение будет положительным.

5. Исправленное решение:

   • Решим уравнение: $\frac{7}{9}x = 10$.
   • Умножаем обе части на $\frac{9}{7}$: $x = 10 \cdot \frac{9}{7}$.
   • Получаем $x = \frac{90}{7}$ см.

Таким образом, длина отрезка $AB$ составляет $\frac{90}{7}$ см, что примерно равно $12,86$ см.