Радиус окружности, вписанной в ромб равен 6 см, а периметр ромба 96 см. Найдите тупой угол ромба.

Варианты ответов:

1) 130 2) 150 3) 135 4) 110 5) 120

Для того чтобы найти тупой угол ромба, воспользуемся данными:

• Радиус окружности, вписанной в ромб, равен 6 см.
• Периметр ромба равен 96 см.

Шаг 1. Найдем сторону ромба.

Периметр ромба равен 4 умножить на длину его стороны, то есть:

где $a$ — длина стороны ромба. Поскольку периметр ромба равен 96 см, получаем:

отсюда

Таким образом, длина стороны ромба $a = 24$ см.

Шаг 2. Используем радиус окружности.

Радиус окружности, вписанной в ромб, можно выразить через сторону ромба и угол между его сторонами. Радиус вписанной окружности $r$ связан с площадью ромба и полупериметром следующим образом:

где $S$ — площадь ромба, а $p$ — полупериметр. Площадь ромба можно выразить через его сторону и синус угла $\alpha$ между соседними сторонами:

Полупериметр равен:

Итак, радиус окружности выражается как:

Из условия задачи $r = 6$ см, подставляем это значение:

Упростим это выражение:

Таким образом, $\sin \alpha = 0.5$, что означает, что угол $\alpha = 30^\circ$.

Шаг 3. Находим тупой угол ромба.

Тупой угол ромба — это угол, который больше 90 градусов. Так как в ромбе соседние углы взаимодополняют друг друга, если один угол равен $30^\circ$, то второй угол (тупой) будет:

Ответ:

Тупой угол ромба равен 150°, и правильный вариант ответа — 2) 150.