В трапеции ABCD основания BC и AD равны 6 и 10 см соответственно, боковая сторона AB равна 4 см, CD - 5 см.
Вычислите площадь трапеции, используя дополнительное построение.

Для того чтобы вычислить площадь трапеции ABCD, давайте воспользуемся дополнительным построением, которое поможет нам сделать задачу более наглядной и удобной для решения.

Шаг 1. Введем дополнительное построение:

Построим прямую, параллельную основаниям трапеции $BC$ и $AD$, которая будет проходить через точку $B$ (или точку $C$, для удобства). Эта прямая пересечет сторону $CD$ в некоторой точке, обозначим ее $P$.

Шаг 2. Разбиение трапеции:

Таким образом, мы разбиваем трапецию на два прямоугольных треугольника и одну прямоугольную трапецию. Это делается для того, чтобы можно было воспользоваться стандартными формулами для площади.

Шаг 3. Расчет площади:

Площадь трапеции рассчитывается по формуле:

где $a$ и $b$ — длины оснований трапеции, а $h$ — её высота.

Из условий задачи:

• $a = BC = 6 \, \text{см}$
• $b = AD = 10 \, \text{см}$
• боковые стороны $AB = 4 \, \text{см}$ и $CD = 5 \, \text{см}$ указывают на то, что высоту трапеции можно найти, решив задачу с использованием теоремы Пифагора.

Шаг 4. Нахождение высоты трапеции:

Для нахождения высоты трапеции используем теорему Пифагора в одном из прямоугольных треугольников, который образуется, если опустить перпендикуляр из вершины $A$ на основание $BC$. Высота этого треугольника будет высотой трапеции.

Пусть $h$ — высота трапеции, а $x$ — расстояние от точки $B$ до проекции вершины $A$ на основание $BC$. Тогда, по теореме Пифагора для треугольника $ABP$:

Из условия задачи, $AB = 4 \, \text{см}$, и поэтому:

Теперь, заметим, что разность длин оснований $AD$ и $BC$ (то есть $10 - 6 = 4$) равна сумме двух отрезков, образующихся при делении основания $AD$ на два участка — одного с длиной $x$ и другого с длиной $5 - x$. То есть:

Таким образом, $x = 2 \, \text{см}$.

Шаг 5. Нахождение высоты:

Подставим найденное значение $x = 2$ в уравнение (1):

Шаг 6. Вычисление площади:

Теперь, зная высоту трапеции $h = 2\sqrt{3} \, \text{см}$, можем вычислить площадь по формуле для площади трапеции:

Таким образом, площадь трапеции составляет $16\sqrt{3} \, \text{см}^2$.