Вычисли стороны и площадь прямоугольника, если его диагональ равна 8 см и образует с меньшей стороны угол 60 градусов

Чтобы найти стороны и площадь прямоугольника, воспользуемся геометрическими формулами и данными:

1. Известные данные:

   • Длина диагонали прямоугольника $d = 8$ см.
   • Угол между диагональю и меньшей стороной $\alpha = 60^\circ$.

2. Связь сторон и диагонали:

   • Прямоугольник образует прямоугольный треугольник с гипотенузой (диагональю) $d$, одной катетой равной меньшей стороне ($a$) и другой катетой равной большей стороне ($b$).

3. Использование тригонометрии:

   • Меньшая сторона ($a$) связана с диагональю и углом через синус: $$a = d \cdot \sin(\alpha)$$
   • Большая сторона ($b$) связана с диагональю и углом через косинус: $$b = d \cdot \cos(\alpha)$$

4. Расчёт значений:

   • Подставим $d = 8$ и $\alpha = 60^\circ$: $$a = 8 \cdot \sin(60^\circ) = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3} \approx 6.93 \text{ см}.$$ $$b = 8 \cdot \cos(60^\circ) = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4 \text{ см}.$$

5. Площадь прямоугольника:

   • Площадь прямоугольника вычисляется как: $$S = a \cdot b$$
   • Подставим значения $a = 4\sqrt{3}$ и $b = 4$: $$S = (4\sqrt{3}) \cdot 4 = 16\sqrt{3} \approx 27.71 \text{ см}^2.$$

Ответ:

• Стороны прямоугольника: $a \approx 6.93$ см (меньшая) и $b = 4$ см (большая).
• Площадь прямоугольника: $S \approx 27.71 \text{ см}^2$.