Образующая конуса равна 8 см, а угол при вершине осевого сечения составляет 60 градусов. Найдите площадь осевого сечения.

Для того чтобы найти площадь осевого сечения конуса, необходимо учитывать несколько геометрических характеристик, таких как образующая конуса, угол при вершине осевого сечения и радиус основания конуса.

Давайте решим задачу пошагово:

1. Известные данные:

   • Образующая конуса (l) = 8 см.
   • Угол при вершине осевого сечения (α) = 60°.

2. Что такое осевое сечение: Осевое сечение конуса — это сечение, которое проходит через вершину конуса и ось симметрии. Оно представляет собой треугольник.

3. Как найти радиус основания?: В осевом сечении конуса мы видим равнобедренный треугольник, в котором образующая является гипотенузой. Угол при вершине сечения (60°) делится пополам, то есть каждый угол у основания равен 30°. Этот угол можно использовать для нахождения радиуса основания.

   В треугольнике с углом 30° и гипотенузой 8 см радиус основания (R) можно найти с помощью синуса угла:

   $$\sin(30^\circ) = \frac{R}{l}$$ $$\sin(30^\circ) = 0.5 \quad \Rightarrow \quad 0.5 = \frac{R}{8}$$ $$R = 0.5 \times 8 = 4 \, \text{см}$$

4. Нахождение площади осевого сечения: Осевое сечение — это равнобедренный треугольник с основанием 2R (где R — радиус основания) и высотой, равной образующей (l). Основание этого треугольника будет равно:

   $$\text{Основание} = 2R = 2 \times 4 = 8 \, \text{см}$$

   Высота треугольника — это образующая конуса, то есть 8 см.

5. Площадь треугольника: Площадь треугольника можно найти по формуле:

   $$S = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота}$$ $$S = \frac{1}{2} \times 8 \times 8 = 32 \, \text{см}^2$$

Ответ: Площадь осевого сечения конуса равна 32 см².