Биссектриса острого угла прямоугольного треугольника делит противоположный катет на отрезки 4,5 см и 7,5 см . Найдите периметр треугольника

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой о биссектрисе и основными свойствами прямоугольного треугольника.

1. Теорема о биссектрисе:

Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Обозначим стороны треугольника:

• $a$ — катет, лежащий напротив острого угла, из которого проведена биссектриса.
• $b$ — другой катет.
• $c$ — гипотенуза.

Длина противоположного катета $a$ делится биссектрисой на отрезки:

• $m = 4,5 \, \text{см}$,
• $n = 7,5 \, \text{см}$.

Тогда, по теореме о биссектрисе, справедливо:

Подставляем значения:

Упростим дробь:

Получаем:

Это означает, что катет $b$ и гипотенуза $c$ находятся в отношении $3 : 5$.

2. Найдем длину катета $a$:

Катет $a$ равен сумме отрезков $m$ и $n$:

3. Выразим стороны через пропорцию:

Катет $b$ и гипотенуза $c$ пропорциональны $3$ и $5$. Обозначим общий множитель пропорции как $k$:

4. Применим теорему Пифагора:

Для прямоугольного треугольника выполняется:

Подставляем $a = 12$, $b = 3k$, $c = 5k$:

Раскроем квадраты:

Перенесем $9k^2$ в правую часть:

Упростим:

Найдем $k^2$:

Следовательно:

5. Найдем длины $b$ и $c$:

Подставим $k = 3$ в выражения для $b$ и $c$:

6. Найдем периметр треугольника:

Периметр треугольника равен сумме всех его сторон:

Подставляем значения:

Ответ:

Периметр треугольника равен 36 см.