В параллелограмме АВСД АВ=6, ВС=9. Точки Е и К лежат соответственно на сторонах ВС и СД так, что СК=6, СЕ=4. Отрезок КЕ пересекает диагональ АС в точке Р. Найдите отношение АР к РС.

Рассмотрим задачу и разберём её шаг за шагом.

Дано:

1. Параллелограмм $ABCD$, где $AB = 6$ и $BC = 9$.
2. Точки $E$ и $K$ лежат на сторонах $BC$ и $CD$ соответственно:
   • $CE = 4$, значит $EB = BC - CE = 9 - 4 = 5$,
   • $CK = 6$, значит $KD = CD - CK = 9 - 6 = 3$.
3. Отрезок $KE$ пересекает диагональ $AC$ в точке $P$. Требуется найти отношение $AP : PC$.

Решение:

Шаг 1: Анализ параллелограмма и расположения точек

Поскольку фигура — параллелограмм, его диагонали $AC$ и $BD$ делят друг друга пополам. Точка пересечения диагоналей является их средней точкой. Назовём эту точку $O$.

Шаг 2: Введение координат

Расположим параллелограмм $ABCD$ на координатной плоскости:

• Пусть $A(0, 0)$, $B(6, 0)$, $C(6, 9)$, $D(0, 9)$.
• Диагональ $AC$ — это отрезок, соединяющий $A(0, 0)$ и $C(6, 9)$. Уравнение $AC$: $y = \frac{3}{2}x$.

Точки $E$ и $K$:

• $E$ делит сторону $BC$ в отношении $4:5$, значит её координаты $E(6, 4)$.
• $K$ делит сторону $CD$ в отношении $6:3 = 2:1$, значит её координаты $K(4, 9)$.

Шаг 3: Уравнение прямой $KE$

Прямая $KE$ проходит через точки $K(4, 9)$ и $E(6, 4)$. Угловой коэффициент:

Уравнение прямой: $y - 9 = -\frac{5}{2}(x - 4)$. Упростим:

Шаг 4: Точка пересечения $P$ прямых $AC$ и $KE$

Подставим уравнение $AC$ ($y = \frac{3}{2}x$) в уравнение $KE$ ($y = -\frac{5}{2}x + 19$):

Умножим на 2, чтобы избавиться от дробей:

Подставим $x = \frac{19}{4}$ в уравнение $AC$ ($y = \frac{3}{2}x$):

Координаты точки $P$: $\left(\frac{19}{4}, \frac{57}{8}\right)$.

Шаг 5: Отношение $AP : PC$

Диагональ $AC$ проходит от точки $A(0, 0)$ до точки $C(6, 9)$. Используем параметрическое представление: