на стороне AD параллелограмма ABCD взята точка M так, что DM=DC а) докажите что CM-биссектриса угла C параллелограмма б) найдите периметр параллелограмма если AB=8,5 см, AM=3,5 см

Разбор задачи

Рассмотрим параллелограмм $ABCD$, на стороне $AD$ которого взята точка $M$, такая что $DM = DC$.

а) Доказательство, что $CM$ — биссектриса угла $C$ параллелограмма

1. Свойства параллелограмма:

   • В параллелограмме противоположные стороны равны ($AB = CD$, $BC = AD$).
   • Противоположные углы равны ($\angle A = \angle C$, $\angle B = \angle D$).
   • Диагонали параллелограмма пересекаются и делятся пополам.

2. Дано: $DM = DC$. Это означает, что точка $M$ делит сторону $AD$ в таком отношении, что $M$ лежит на равном расстоянии от $D$ и $C$.

3. Доказательство равенства углов: Рассмотрим треугольники $\triangle CMD$ и $\triangle CMD'$, где $D'$ — зеркальное отражение точки $D$ относительно прямой $CM$:

   • $DM = DC$ (по условию),
   • $CM = CM$ (общая сторона),
   • $CD = CD$ (по свойству параллелограмма).

   По первому признаку равенства треугольников ($две стороны и угол между ними$) $\triangle CMD \cong \triangle CMD'$.

   Из этого следует, что:

   $$\angle MCD = \angle MCD'$$

   Таким образом, прямая $CM$ делит угол $C$ на два равных угла, то есть $CM$ — биссектриса угла $C$.

б) Найти периметр параллелограмма

1. Дано:

   • $AB = 8.5$ см,
   • $AM = 3.5$ см.

2. Выразим длину стороны $AD$: $AM + DM = AD$.

   По условию, $DM = DC = AB = 8.5$ см. Следовательно:

   $$AD = AM + DM = 3.5 + 8.5 = 12\ \text{см}.$$

3. Периметр параллелограмма: Периметр параллелограмма $P$ вычисляется как:

   $$P = 2 \cdot (AB + AD).$$

   Подставим значения:

   $$P = 2 \cdot (8.5 + 12) = 2 \cdot 20.5 = 41\ \text{см}.$$

Ответ:

а) $CM$ — биссектриса угла $C$, так как треугольники $\triangle CMD$ равны.
б) Периметр параллелограмма равен $41\ \text{см}$.