Пожалуйста!!!!
Биссектрисы углов А и Д параллелограмма АВСД пересекают сторону ВС в точках К и М соответственно, причем ВК=КМ=МС, АК=8 см, ДМ=6 см. Найдите периметр параллелограмма.

Для решения задачи нужно использовать свойства биссектрис, свойства параллелограмма и соотношения, которые нам даны.

Дано:

1. Параллелограмм $ABCD$, углы $A$ и $D$ которого имеют биссектрисы, пересекающие сторону $BC$ в точках $K$ и $M$ соответственно.
2. Длины отрезков: $BK = KM = MC$.
3. Длина $AK = 8$ см (отрезок, соединяющий вершину $A$ с точкой пересечения биссектрисы угла $A$ со стороной $BC$).
4. Длина $DM = 6$ см (отрезок, соединяющий вершину $D$ с точкой пересечения биссектрисы угла $D$ со стороной $BC$).

Требуется найти периметр параллелограмма $ABCD$.

Решение:

1. Свойства биссектрис и разбиение стороны $BC$:

Так как $BK = KM = MC$, точка $K$ делит сторону $BC$ на три равные части. Следовательно, каждая из этих частей имеет длину $x$:

2. Свойства биссектрис:

Из теоремы о биссектрисе известно, что биссектриса делит противоположную сторону пропорционально прилежащим сторонам. Для биссектрисы $AK$ это означает:

Но так как $BK = KC$, стороны $AB$ и $AC$ равны:

Аналогично, для биссектрисы $DM$:

И так как $BM = MC$, стороны $BD$ и $DC$ равны:

Итак, параллелограмм является ромбом, так как все его стороны равны.

Обозначим длину стороны ромба за $a$:

3. Связь сторон ромба и длины биссектрис:

В ромбе длины отрезков биссектрис связаны с его сторонами и углами. В частности, можно воспользоваться тригонометрией.

Для $AK$:

Рассмотрим треугольник $ABK$. Он является прямоугольным, так как биссектриса делит угол на две равные части. Длина $AK$ выражается через стороны ромба и угол $\alpha$ (угол $A$):

Из условия:

Для $DM$:

Рассмотрим треугольник $BDM$. Аналогично:

где $\beta = \angle D$ — угол при вершине $D$ ромба.

Из условия:

4. Связь углов $\alpha$ и $\beta$:

В ромбе углы $\alpha$ и $\beta$ дополняют друг друга до $180^\circ$:

Это дает связь косинусов:

Подставляем:

5. Система уравнений:

Теперь у нас есть система:

Разделим второе уравнение на первое: