В параллелограмме АВСД биссектрисы углов АВС и ВСД пересекают основание АД в точках L и К соответственноИзвестно,чтоАД=3/2АВ,ВL=8,CK=12 Найти площадь параллелограммаАВСД

Для решения задачи давайте последовательно разберем ситуацию.

1. Обозначим известные величины:

   • $AD = \frac{3}{2} AB$: это соотношение говорит о том, что основание $AD$ длиннее боковой стороны $AB$ на половину длины $AB$.
   • $BL = 8$ и $CK = 12$: это расстояния от вершин $B$ и $C$ до точек пересечения биссектрис с основанием $AD$.
   • $AB = BC$, так как это параллелограмм, и противоположные стороны равны.

2. Используем свойства биссектрис: Биссектрисы делят противоположные стороны в том же отношении, что и прилежащие стороны угла. Для биссектрисы угла $ABC$, точка $L$ делит сторону $AD$ в отношении $AB : BC$, то есть $AL : LD = AB : BC$. Поскольку $AB = BC$, получаем, что $AL = LD$, а значит $L$ — середина отрезка $AD$.

   Аналогично для биссектрисы угла $BCD$: точка $K$ делит сторону $AD$ также пополам. Следовательно, $K$ тоже середина отрезка $AD$.

   Таким образом, обе биссектрисы пересекаются в середине стороны $AD$, и $L = K$.

3. Находим длину основания $AD$: Поскольку $AD = \frac{3}{2} AB$, обозначим длину стороны $AB$ через $x$. Тогда:

   $$AD = \frac{3}{2} x.$$

   Поскольку $L$ делит $AD$ пополам:

   $$AL = LD = \frac{AD}{2} = \frac{3}{4} x.$$

4. Используем известные длины $BL$ и $CK$: В треугольнике $ABL$, $BL = 8$ — высота к основанию $AL$. В треугольнике $BCK$, $CK = 12$ — высота к основанию $KD$.

5. Находим высоту параллелограмма: Высота параллелограмма будет суммой высот $BL$ и $CK$, так как они соответствуют двум смежным треугольникам, образованным диагоналями и биссектрисами:

   $$h = BL + CK = 8 + 12 = 20.$$

6. Находим площадь параллелограмма: Площадь параллелограмма вычисляется по формуле:

   $$S = основание \times высота.$$

   Здесь основание $AB$, а высота $h$:

   $$S = AB \times h = x \times 20.$$

   Подставляем $x$ через $AD = \frac{3}{2} x$:

   $$x = \frac{2}{3} AD.$$

   Так как $AD = 24$ (по сумме отрезков, $BL + CK = 20$ и деление биссектрисы показывает соответствие), $x = \frac{2}{3} \cdot 24 = 16$.

7. Итоговая площадь: Подставляем:

   $$S = 16 \cdot 20 = 320.$$

Ответ: площадь параллелограмма $ABCD$ равна 320.