В треугольнике CDE точка M лежит на стороне CE причём угол CMD - острый. Докажите что DE> DM

Чтобы доказать, что $DE > DM$ в треугольнике $CDE$, где точка $M$ лежит на стороне $CE$, а угол $\angle CMD$ острый, воспользуемся геометрическими соображениями. Разберём всё шаг за шагом.

1. Разделим задачу на ключевые элементы

• Точка $M$ лежит на стороне $CE$, значит $M$ делит сторону $CE$ на два отрезка: $CM$ и $ME$.
• Угол $\angle CMD$ острый, то есть $0^\circ < \angle CMD < 90^\circ$.
• Требуется показать, что $DE$ больше, чем $DM$.

2. Используем теорему косинусов

Для отрезков $DE$ и $DM$ применим теорему косинусов в треугольниках $CDE$ и $CMD$:

• Для $DE$ в треугольнике $CDE$:

  $$DE^2 = CD^2 + CE^2 - 2 \cdot CD \cdot CE \cdot \cos(\angle DCE).$$

• Для $DM$ в треугольнике $CMD$:

  $$DM^2 = CD^2 + CM^2 - 2 \cdot CD \cdot CM \cdot \cos(\angle CMD).$$

3. Сравним выражения

1. Отрезки $CD$: Они одинаковы в обеих формулах.
2. Отрезок $CM$: Это часть отрезка $CE$, то есть $CM < CE$.
3. Косинусы углов:
   • $\angle CMD$ острый, поэтому $\cos(\angle CMD) > 0$.
   • Угол $\angle DCE$ может быть любым, но его значение (и знак косинуса) ограничено. Поскольку $CE$ больше $CM$, вклад отрицательного слагаемого будет больше для $DE$, чем для $DM$.

4. Интуитивное объяснение через расстояния

• Точка $M$ лежит на стороне $CE$, а значит, она ближе к $D$, чем точка $E$.
• Это означает, что $DM$ – это лишь часть пути от $D$ до $E$, а $DE$ – полный путь.
• Так как $\angle CMD$ острый, направление на $M$ не "укорачивает" отрезок $DM$ до такого уровня, чтобы он мог сравняться с $DE$.

5. Заключение

На основании применения теоремы косинусов, свойств длин сторон треугольника и острого угла $\angle CMD$, можно утверждать, что: