В тре­уголь­ни­ке ABC из­вест­но, что DE — сред­няя линия. Пло­щадь тре­уголь­ни­ка CDE равна 21. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC.

Средняя линия треугольника — это отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника. Она обладает важным свойством: средняя линия параллельна одной из сторон треугольника и равна половине её длины.

В данной задаче DE — средняя линия треугольника ABC, поэтому она параллельна стороне AB и равна половине её длины. Треугольники CDE и ABC подобны, так как:

1. У них есть общая вершина C.
2. Углы при вершинах D и E равны соответствующим углам при вершинах A и B, так как DE || AB.

Так как средняя линия делит треугольник на два подобных треугольника с коэффициентом подобия 1:2, площадь треугольника CDE составляет четверть площади треугольника ABC. Это связано с тем, что площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия.

Обозначим площадь треугольника ABC через $S$. Тогда по условию:

Подставляем значение площади треугольника CDE:

Умножаем обе части на 4:

Таким образом, площадь треугольника ABC равна 84.