основания трапеции равны 9 и 54, одна из боковых сторон равна 27, а косинус угла между ней и одним из оснований равен корень из 65 и все это делено на 9. Найдите площадь трапеции.

Для нахождения площади трапеции, исходя из данных, можно воспользоваться следующими шагами:

1. Определим известные величины:

   • Основания трапеции $a = 9$ и $b = 54$.
   • Одна из боковых сторон $c = 27$.
   • Косинус угла между боковой стороной и одним из оснований $\cos \theta = \frac{\sqrt{65}}{9}$.

2. Найдем высоту трапеции:

   Для этого используем формулу для высоты через боковую сторону и косинус угла:

   $$h = c \cdot \cos \theta$$

   Подставим известные значения:

   $$h = 27 \cdot \frac{\sqrt{65}}{9} = 3\sqrt{65}$$

3. Найдем длину основания, которое перпендикулярно боковой стороне:

   Для этого нужно воспользоваться разностью между длинами оснований. Обозначим проекцию боковой стороны на основание $a$ как $x$. Тогда из треугольника, образованного боковой стороной, проекцией и высотой, можно записать:

   $$x = h \cdot \sin \theta = 3\sqrt{65} \cdot \sqrt{1 - \left( \frac{\sqrt{65}}{9} \right)^2}$$ $$x = 3\sqrt{65} \cdot \sqrt{1 - \frac{65}{81}} = 3\sqrt{65} \cdot \sqrt{\frac{16}{81}} = 3\sqrt{65} \cdot \frac{4}{9}$$ $$x = \frac{12\sqrt{65}}{9} = \frac{4\sqrt{65}}{3}$$

4. Площадь трапеции:

   Площадь трапеции можно вычислить по формуле:

   $$S = \frac{1}{2} \cdot (a + b) \cdot h$$

   Подставим значения:

   $$S = \frac{1}{2} \cdot (9 + 54) \cdot 3\sqrt{65} = \frac{1}{2} \cdot 63 \cdot 3\sqrt{65}$$ $$S = \frac{1}{2} \cdot 189\sqrt{65} = 94.5 \sqrt{65}$$

   Это и будет искомая площадь трапеции.

Ответ: площадь трапеции равна $94.5 \sqrt{65}$.