Основания трапеции равны 5 и 40, одна из боковых сторон равна 14, а косинус угла между ней и одним из оснований равен 3/5. Найдите площадь трапеции.

Для решения задачи о нахождении площади трапеции нужно воспользоваться формулой площади через среднюю линию и высоту, а также использовать косинус угла для нахождения высоты.

Дано:

1. Основания трапеции: $a = 5$, $b = 40$.
2. Боковая сторона: $c = 14$.
3. Косинус угла между боковой стороной и одним из оснований: $\cos \alpha = \frac{3}{5}$.

Найти: площадь трапеции $S$.

Шаг 1: Найдем высоту трапеции

Высота $h$ связана с боковой стороной $c$ и углом $\alpha$. По определению косинуса:

Прилежащий катет — это проекция боковой стороны на основание, а высота — это перпендикулярный катет. Поэтому:

Далее найдем высоту $h$ через теорему Пифагора:

Выполним вычисления:

Шаг 2: Найдем среднюю линию

Средняя линия трапеции равна:

Шаг 3: Вычислим площадь

Формула площади трапеции:

Подставим значения:

Ответ:

Площадь трапеции равна $\mathbf{252}$.