В трапеции АВСД АД-большее основание. Через вершину В проведена прямая параллельная СД, до пересечения с АД с точке Е. Периметр треугольника АВЕ равен 17 см, а ВС=3 см. Найдите периметр трапеции.

Рассмотрим задачу подробно.

Дано:

1. Трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ (большее основание) и $BC$ (меньшее основание).
2. Через вершину $B$ проведена прямая, параллельная основанию $CD$, и эта прямая пересекает $AD$ в точке $E$.
3. Периметр треугольника $ABE$ равен $17$ см.
4. Длина $BC = 3$ см.

Нужно найти периметр трапеции $ABCD$.

Шаг 1. Периметр треугольника $ABE$

По условию известно, что:

Шаг 2. Свойства параллельных прямых

Так как $BE \parallel CD$, то:

• Угол $ABE = \angle BCD$,
• Угол $BAE = \angle ACD$.

Кроме того, $BE \parallel CD$ означает, что $BE$ и $CD$ лежат в одной плоскости, а их длины соотносятся с длиной отрезков на основаниях.

Шаг 3. Периметр трапеции $ABCD$

Периметр трапеции можно выразить как сумму всех её сторон:

• Из условия уже известно:
  • $BC = 3$ см,
  • $AB$ входит в периметр треугольника $ABE$,
  • Осталось найти длины $CD$ и $DA$.

Шаг 4. Длина $CD$

Поскольку $BE \parallel CD$, а $E$ лежит на продолжении $AD$, отрезок $BE$ является частью длины $CD$. Однако для точного соотношения длины $CD$ нам необходимо знать положение точки $E$ относительно $A$ и $D$.

Шаг 5. Решение через уравнения

Так как $AB$, $BE$, и $AE$ связаны периметром треугольника $ABE$, введём обозначения:

• $AB = x$,
• $BE = y$,
• $AE = z$, где:

Отрезок $DA$ можно представить как:

а $CD$ выразим через соотношение с параллельными отрезками.

Конечное выражение

Подставляя все найденные величины, можно вычислить периметр трапеции:

Так как $x + y + z = 17$ и $BC = 3$, то:

Ответ: Периметр трапеции равен $20$ см.